0
0

Sum of n Terms of Geometric Progression (G.P.)

Introduction

In a Geometric Progression (G.P.)-இல், ஒவ்வொரு term-மும் அதற்கு முந்தைய term-ஐ ஒரு நிலையான ratio r மூலம் பெருக்குவதால் கிடைக்கிறது. பல கேள்விகளில் முதல் n terms-களின் sum (Sₙ) கேட்கப்படும் - குறிப்பாக finance, population growth, அல்லது interest அடிப்படையிலான கேள்விகளில். இந்த formula பயன்படுத்தினால், ஒவ்வொரு term-ஐயும் தனித்தனியாக எழுதாமல் மொத்த sum-ஐ வேகமாக கணக்கிடலாம்.

Pattern: Sum of n Terms of Geometric Progression (G.P.)

Pattern

G.P.-இன் முதல் n terms-களின் sum:

r ≠ 1 ஆக இருந்தால்: Sₙ = a × (rⁿ - 1) / (r - 1)

r < 1 (decreasing G.P.): Sₙ = a × (1 - rⁿ) / (1 - r)

இங்கு, a = முதல் term, r = common ratio, மற்றும் n = terms எண்ணிக்கை.

Step-by-Step Example

Question

G.P.: 3, 6, 12, 24, 48 இன் முதல் 5 terms-களின் sum-ஐ காண்க.

Solution

  1. Step 1: a, r மற்றும் n-ஐ கண்டறியவும்

    முதல் term a = 3, Common ratio r = 6 ÷ 3 = 2, Terms எண்ணிக்கை n = 5.

  2. Step 2: r ≠ 1 க்கான formula-வை பயன்படுத்தவும்

    Sₙ = a × (rⁿ - 1) / (r - 1)

    Substitute: S₅ = 3 × (2⁵ - 1) / (2 - 1)

  3. Step 3: Simplify செய்யவும்

    S₅ = 3 × (32 - 1) / 1 = 3 × 31 = 93

  4. Final Answer:

    முதல் 5 terms-களின் sum = 93.

  5. Quick Check:

    Terms-ஐ நேரடியாக கூட்டினால்: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 ✅

Quick Variations

1. Series decreasing ஆக இருந்தால் (r < 1), Sₙ = a × (1 - rⁿ) / (1 - r) பயன்படுத்தவும்.

2. r = 1 ஆக இருந்தால், அனைத்து terms-மும் ஒரே மாதிரி ⇒ Sₙ = n × a.

3. Sum மற்றும் ratio கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், அதே formula-வை மாற்றி terms எண்ணிக்கையை கண்டறியலாம்.

Trick to Always Use

  • Step 1: முதலில் r மதிப்பு 1-ஐ விட அதிகமா அல்லது குறைவா என்பதை சரிபார்க்கவும்.
  • Step 2: r > 1 என்றால் (rⁿ - 1)/(r - 1), r < 1 என்றால் (1 - rⁿ)/(1 - r) பயன்படுத்தவும்.
  • Step 3: வேகமான கணக்கிற்கு, rⁿ-ஐ தனியாக முன்கணக்கிடுங்கள்.

Summary

Summary

Geometric Progression-இல்:

  • Formula: r > 1 ஆக இருந்தால் Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1).
  • Alternate: r < 1 ஆக இருந்தால் Sₙ = a × (1 - rⁿ)/(1 - r).
  • Special case: r = 1 என்றால் Sₙ = n × a.
  • Exponential growth காரணமாக power கணக்குகளில் கவனம் தேவை.

Practice

(1/5)
1. Find the sum of the first 4 terms of the G.P.: 2, 4, 8, 16.
easy
A. 32
B. 28
C. 34
D. 30

Solution

  1. Step 1: Identify a, r and n

    First term a = 2, common ratio r = 4 ÷ 2 = 2, number of terms n = 4.

  2. Step 2: Apply the sum formula for r ≠ 1

    Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1). Substitute: S₄ = 2 × (2⁴ - 1)/(2 - 1).

  3. Step 3: Simplify

    S₄ = 2 × (16 - 1)/1 = 2 × 15 = 30.

  4. Final Answer:

    The sum of the first 4 terms is 30 → Option D.

  5. Quick Check:

    Direct addition: 2 + 4 + 8 + 16 = 30 ✅

Hint: When r = 2, total = a × (2ⁿ - 1).
Common Mistakes: Forgetting to subtract 1 from rⁿ before multiplying by a.
2. Find the sum of the first 5 terms of the G.P.: 3, 6, 12, 24, 48.
easy
A. 90
B. 93
C. 96
D. 99

Solution

  1. Step 1: Identify a, r, and n

    First term a = 3, ratio r = 2, number of terms n = 5.

  2. Step 2: Apply the formula Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)

    S₅ = 3 × (2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3 × (32 - 1) = 3 × 31 = 93.

  3. Final Answer:

    The sum of the first 5 terms is 93 → Option B.

  4. Quick Check:

    3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93 ✅

Hint: Use a × (2ⁿ - 1) when r = 2 to speed up calculation.
Common Mistakes: Dropping parentheses around (rⁿ - 1).
3. Find the sum of the first 3 terms of the G.P.: 81, 27, 9.
easy
A. 119
B. 121
C. 117
D. 123

Solution

  1. Step 1: Identify a, r and n

    First term a = 81, ratio r = 27 ÷ 81 = 1/3, number of terms n = 3.

  2. Step 2: Use the decreasing-G.P. formula

    For r < 1 use Sₙ = a × (1 - rⁿ)/(1 - r). Substitute: S₃ = 81 × (1 - (1/3)³)/(1 - 1/3).

  3. Step 3: Simplify step-by-step

    r³ = 1/27 → 1 - r³ = 26/27. Denominator 1 - r = 2/3. So S₃ = 81 × (26/27) × (3/2) = 117.

  4. Final Answer:

    The sum of the first 3 terms is 117 → Option C.

  5. Quick Check:

    Direct addition: 81 + 27 + 9 = 117 ✅

Hint: For fractional ratios, compute (1 - rⁿ)/(1 - r) to avoid sign errors.
Common Mistakes: Applying (rⁿ - 1) instead of (1 - rⁿ) when r < 1.
4. If the first term of a G.P. is 5 and the common ratio is 3, find the sum of the first 6 terms.
medium
A. 1820
B. 1825
C. 1828
D. 1830

Solution

  1. Step 1: Record given values

    First term a = 5, ratio r = 3, number of terms n = 6.

  2. Step 2: Apply Sₙ = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)

    S₆ = 5 × (3⁶ - 1)/(3 - 1) = 5 × (729 - 1)/2 = 5 × 728/2 = 5 × 364 = 1820.

  3. Final Answer:

    The sum of the first 6 terms is 1820 → Option A.

  4. Quick Check:

    Compute r⁶ - 1 = 728 and divide by 2, then multiply by 5 → 1820 ✅

Hint: Compute rⁿ first, then use the (rⁿ - 1)/(r - 1) factor to avoid intermediate rounding.
Common Mistakes: Forgetting to divide by (r - 1) after computing rⁿ - 1.
5. Find the sum of the first 8 terms of the G.P.: 256, 128, 64, …
medium
A. 510
B. 510.5
C. 511
D. 512

Solution

  1. Step 1: Identify a, r and n

    First term a = 256, ratio r = 128 ÷ 256 = 1/2, number of terms n = 8.

  2. Step 2: Use Sₙ = a × (1 - rⁿ)/(1 - r) for r < 1

    S₈ = 256 × (1 - (1/2)⁸)/(1 - 1/2).

  3. Step 3: Simplify carefully

    (1/2)⁸ = 1/256 → 1 - rⁿ = 255/256. Denominator 1 - r = 1/2. So S₈ = 256 × (255/256) × 2 = 255 × 2 = 510.

  4. Final Answer:

    The sum of the first 8 terms is 510 → Option A.

  5. Quick Check:

    The infinite-limit sum would be 256/(1 - 1/2) = 512; for 8 terms we get 512 - 2 = 510 (close to the limit) ✅

Hint: For r = 1/2, Sₙ = a × (1 - 1/2ⁿ)/(1/2) = 2a × (1 - 1/2ⁿ).
Common Mistakes: Using the r > 1 formula instead of the r < 1 variant.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes