Introduction
Geometric Progression (G.P.) என்பது ஒரு எண்ணத் தொடர் ஆகும்; இதில் முதல் term-க்கு பின் வரும் ஒவ்வொரு term-மும், அதற்கு முந்தைய term-ஐ ஒரு நிலையான, பூஜ்யமல்லாத எண்ணால் பெருக்குவதன் மூலம் கிடைக்கிறது. அந்த எண்ணை common ratio (r) என்று அழைக்கிறோம். G.P.-இன் nth term formula-வை புரிந்துகொண்டால், முன்னதாக உள்ள அனைத்து term-களையும் எழுதாமல், தொடரில் எந்த ஒரு குறிப்பிட்ட term-ஐயும் நேரடியாகக் கண்டறிய முடியும்.
Pattern: Geometric Progression (G.P.) – nth Term
Pattern
geometric progression-இன் nth term (Tₙ) கீழ்காணும் formula மூலம் கிடைக்கும்:
Tₙ = a × rⁿ⁻¹
இங்கு, a = முதல் term, r = common ratio, மற்றும் n = term எண்.
Step-by-Step Example
Question
G.P. 2, 6, 18, 54, … இன் 7-வது term-ஐ காண்க.
Solution
-
Step 1: a, r மற்றும் n-ஐ கண்டறியவும்
முதல் term a = 2. Common ratio r = 6 ÷ 2 = 3. தேவைப்படும் term n = 7.
-
Step 2: nth term formula-வை பயன்படுத்தவும்
Tₙ = a × rⁿ⁻¹ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458.
-
Final Answer:
G.P.-இன் 7-வது term 1458 ஆகும்.
-
Quick Check:
6-வது term = 486, அதை r = 3-ஆல் பெருக்கினால் → 486 × 3 = 1458 ✅
Quick Variations
1. Common ratio r ஒரு fraction ஆக இருக்கலாம் (decreasing G.P.).
2. Terms மாறி மாறி sign-களுடன் வந்தால், r negative ஆக இருக்கும்.
3. எந்த இரண்டு term-கள் தெரிந்திருந்தாலும், r-ஐ r = (T₂ / T₁) அல்லது r = (Tₙ / Tₘ)^(1/(n-m)) மூலம் கண்டறியலாம்.
Trick to Always Use
- Step 1: எப்போதும் இரண்டு தொடர்ச்சியான term-களை பயன்படுத்தி முதலில் r-ஐ கண்டறியவும்.
- Step 2: Tₙ = a × rⁿ⁻¹ formula-வில் substitute செய்யும் போது exponent-ஐ கவனமாக கையாளுங்கள் - இங்கே தான் அதிக பிழைகள் நடக்கும்.
Summary
Summary
Geometric Progression (G.P.)-இல்:
- தொடர்ச்சியான term-களுக்கிடையிலான ratio எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
- nth term formula: Tₙ = a × rⁿ⁻¹.
- r > 1 என்றால் → sequence வேகமாக அதிகரிக்கும்; 0 < r < 1 என்றால் → sequence குறையும்.
- Alternating sign series-களில் r negative ஆக இருக்கும்.
Hint: Multiply the first term by rⁿ⁻¹ directly.
Common Mistakes: Using n instead of (n-1) in the exponent.