0
0

Harmonic Progression (H.P.)

Introduction

Harmonic Progression (H.P.) என்பது, அதன் terms-களின் reciprocals ஒரு Arithmetic Progression (A.P.) ஆக அமைவது. H.P. சார்ந்த கேள்விகள் ratio, speed-time, மற்றும் mixture போன்ற பிரச்சினைகளில் அடிக்கடி வருகின்றன - reciprocals-க்கு பின்னால் இருக்கும் A.P.-ஐ அடையாளம் கண்டால், இவை எளிதாக தீர்க்கலாம்.

Pattern: Harmonic Progression (H.P.)

Pattern

Key idea: terms-களின் reciprocals, முதல் term A மற்றும் common difference D கொண்ட A.P.-ஆக இருந்தால், அந்த H.P.-இன் nth term:

Tₙ = 1 / (A + (n - 1)D)

நடைமுறையில், நீங்கள் இரண்டு வழிகளில் செயல்படலாம்: (a) H.P. → reciprocals-ஆக மாற்றி → A.P. போல solve செய்யலாம், அல்லது (b) underlying A.P. தெளிவாக தெரிந்தால், மேலுள்ள formula-வை நேரடியாக பயன்படுத்தலாம்.

Step-by-Step Example

Question

1/3, 1/5, 1/7, 1/9, … என்ற தொடர் ஒரு Harmonic Progression ஆகும். அதன் 5-வது term-ஐ காண்க.

Solution

  1. Step 1: Underlying A.P.-ஐ (reciprocals) கண்டறியவும்

    H.P. terms-களின் reciprocals எடுக்கவும்: 3, 5, 7, 9, … . இவை முதல் term A = 3 மற்றும் common difference D = 2 கொண்ட ஒரு A.P.-ஆக உள்ளன.

  2. Step 2: Underlying A.P.-க்கான nth term formula-வை பயன்படுத்தவும்

    Underlying A.P.-இன் nth term: A + (n - 1)D. n = 5 என்றால்: A₅ = 3 + (5 - 1)×2 = 3 + 8 = 11.

  3. Step 3: Reciprocal எடுத்து H.P. term-ஆக மாற்றவும்

    H.P.-இன் 5-வது term, A₅-இன் reciprocal: T₅ = 1 / 11.

  4. Final Answer:

    5-வது term = 1/11.

  5. Quick Check:

    Terms-ஐ பட்டியலிட்டால்: 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, 1/11 - ஆம், 5-வது term 1/11 தான் ✅

Quick Variations

1. H.P. 1/(a + kd) போன்ற வடிவில் கொடுக்கப்பட்டால், a மற்றும் d-ஐ நேரடியாக கண்டறியவும்.

2. சில கேள்விகளில் இரண்டு H.P. terms (உதா., Tₚ மற்றும் T_q) கொடுக்கப்படும் - reciprocals-ஆக மாற்றி, A.P. parameters-ஐ கண்டறிந்து, பின்னர் மீண்டும் H.P.-ஆக மாற்றவும்.

3. Story problem-களில் ஒரு H.P. term missing ஆக இருந்தால், reciprocals-ஐ A.P.-ஆக மாற்றி தீர்க்கவும்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → Reciprocals எடுக்கவும்: எப்போதும் reciprocals எடுத்தால் தெளிவான A.P. கிடைக்கிறதா என்று சரிபார்க்கவும்.
  • Step 2 → A.P. tools பயன்படுத்தவும்: Reciprocals-க்கு A.P. formula-களை (nth term, sum, difference) பயன்படுத்தி, பின்னர் மீண்டும் reciprocal எடுக்கவும்.

Summary

Summary

Harmonic Progression குறித்து முக்கிய குறிப்புகள்:

  • H.P. = terms-களின் reciprocals ஒரு A.P.-ஆக இருக்கும்; கணக்குகளை எளிதாக்க reciprocals-ஐ பயன்படுத்தவும்.
  • General nth term (reciprocals A மற்றும் D கொண்ட A.P. என்றால்): Tₙ = 1 / (A + (n - 1)D).
  • Word problem-களில் rate அல்லது ratio வந்தால், quantities-ஐ reciprocals-ஆக மாற்றி அணுகவும்.
  • Quick check: கணக்கிட்ட reciprocal-ஐ மீண்டும் H.P. term-ஆக மாற்றி sequence சரியாக உள்ளதா உறுதி செய்யவும்.

Practice

(1/5)
1. Find the 4th term of the Harmonic Progression: 1/2, 1/4, 1/6, …
easy
A. 1/8
B. 1/10
C. 1/12
D. 1/14

Solution

  1. Step 1: Convert H.P. to A.P. (reciprocals)

    Reciprocals form the A.P.: 2, 4, 6, … with first term a = 2 and difference d = 2.

  2. Step 2: Find the 4th term of the A.P.

    T₄ = a + (n - 1)d = 2 + (4 - 1)×2 = 2 + 6 = 8.

  3. Step 3: Convert back to H.P.

    The 4th term of the H.P. is the reciprocal: 1/8.

  4. Final Answer:

    4th term = 1/8 → Option A.

  5. Quick Check:

    Sequence: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8 - fourth term is 1/8 ✅

Hint: Find nth term of the reciprocal A.P., then take its reciprocal.
Common Mistakes: Applying differences directly to H.P. terms instead of to reciprocals.
2. If the reciprocals of the terms 1/3, 1/5, 1/7, … form an A.P., find the 5th term of the H.P.
easy
A. 1/9
B. 1/10
C. 1/11
D. 1/12

Solution

  1. Step 1: Identify the reciprocal A.P.

    Reciprocals → 3, 5, 7, … so a = 3 and d = 2.

  2. Step 2: Find 5th term of the A.P.

    T₅ = a + (5 - 1)d = 3 + 8 = 11.

  3. Step 3: Take reciprocal for H.P.

    H.P. 5th term = 1/11.

  4. Final Answer:

    5th term = 1/11 → Option C.

  5. Quick Check:

    H.P. sequence: 1/3,1/5,1/7,1/9,1/11 - confirms 1/11 ✅

Hint: Flip to reciprocals first to work with an A.P., then flip back.
Common Mistakes: Trying to apply A.P. formula to H.P. terms directly.
3. Find the 6th term of the Harmonic Progression: 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
easy
A. 1/5
B. 1/6
C. 1/7
D. 1/8

Solution

  1. Step 1: Form the reciprocal A.P.

    Reciprocals: 1,2,3,4,… so a = 1, d = 1.

  2. Step 2: Compute 6th term of the A.P.

    T₆ = a + (6 - 1)d = 1 + 5 = 6.

  3. Step 3: Convert back to H.P.

    6th term of H.P. = 1/6.

  4. Final Answer:

    6th term = 1/6 → Option B.

  5. Quick Check:

    Sequence: 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 - 6th term is 1/6 ✅

Hint: H.P. nth term = reciprocal of nth term of the underlying A.P.
Common Mistakes: Confusing index when converting back and forth between H.P. and A.P.
4. If the reciprocals of an H.P. form an A.P. with first term a = 1 and difference d = 4, find the 4th term of the H.P.
medium
A. 1/10
B. 1/11
C. 1/12
D. 1/13

Solution

  1. Step 1: Find 4th term in reciprocal A.P.

    T₄ = a + (n - 1)d = 1 + (4 - 1)×4 = 1 + 12 = 13.

  2. Step 2: Take reciprocal to get H.P.

    4th term of H.P. = 1/13.

  3. Final Answer:

    4th term = 1/13 → Option D.

  4. Quick Check:

    Reciprocal sequence: 1,5,9,13 → H.P.: 1,1/5,1/9,1/13 ✅

Hint: Compute the A.P. nth term first (a + (n-1)d), then reciprocate.
Common Mistakes: Mistaking n×d for (n-1)d when using the A.P. formula.
5. If the first term of the reciprocal A.P. is 4 and the common difference is 2, find the 5th term of the corresponding H.P.
medium
A. 1/12
B. 1/10
C. 1/13
D. 1/14

Solution

  1. Step 1: Compute 5th term of the reciprocal A.P.

    T₅ = a + (5 - 1)d = 4 + 8 = 12.

  2. Step 2: Take reciprocal to get H.P.

    5th term of H.P. = 1/12.

  3. Final Answer:

    5th term = 1/12 → Option A.

  4. Quick Check:

    Underlying A.P.: 4,6,8,10,12 → H.P.: 1/4,1/6,1/8,1/10,1/12 ✅

Hint: After finding the A.P. nth term, always reciprocate to avoid sign/placement errors.
Common Mistakes: Using the wrong index for n when computing the A.P. nth term.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes