0
0

Mixed Series (Combination of A.P. and G.P.)

Introduction

சில sequences-கள் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட patterns-ஐ இணைத்து இருக்கும் - பொதுவாக Arithmetic Progression (A.P.) மற்றும் Geometric Progression (G.P.). இவை Mixed Series என அழைக்கப்படுகின்றன. எந்த பகுதி எந்த rule-ஐ பின்பற்றுகிறது (additive vs. multiplicative) என்பதை அடையாளம் காண்பதே இவற்றை திறமையாக தீர்க்கும் முக்கிய விசை.

இந்த pattern முக்கியமானது; ஏனெனில் பல reasoning questions-ல் A.P. மற்றும் G.P. ஒன்றாக கலந்து observation மற்றும் analytical skills இரண்டையும் சோதிக்கின்றன. இவ்வகை dual nature-ஐ சரியாக அடையாளம் கண்டால் exam-ல் நேரம் சேமித்து குழப்பத்தைத் தவிர்க்கலாம்.

Pattern: Mixed Series (Combination of A.P. and G.P.)

Pattern

Mixed Series-ல், மாற்றி வரும் terms அல்லது ஒவ்வொரு term-ன் கூறுகள் வெவ்வேறு rules-ஐ பின்பற்றும் - ஒன்று arithmetic (constant difference) மற்றொன்று geometric (constant ratio).

பொதுவான வகைகள்:

  • Type 1 - Alternating pattern: odd terms ஒரு A.P. ஆகவும், even terms ஒரு G.P. ஆகவும் (அல்லது மாறாக) இருக்கும்.
  • Type 2 - Additive + multiplicative combination: ஒவ்வொரு term-மும் முதலில் ஒரு constant சேர்த்து பின்னர் ஒரு fixed number-ஆல் பெருக்கப்படும்.
  • Type 3 - Dual rule progression: terms மாறிமாறி fixed addition மற்றும் multiplication மூலம் அதிகரிக்கும்.

தீர்க்கும் முறை: series-ஐ இரண்டு sub-sequences-ஆக பிரிக்கவும் - ஒன்று odd positions-க்கு, மற்றொன்று even positions-க்கு. ஒவ்வொன்றும் A.P. அல்லது G.P. rules-ஐ பின்பற்றுகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும்.

Step-by-Step Example

Question

2, 4, 8, 10, 20, 22, 44, … என்ற series-இல் அடுத்த term-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்.

Solution

  1. Step 1: Odd மற்றும் Even positions-ஐ பிரிக்கவும்

    Odd terms: 2, 8, 20, 44
    Even terms: 4, 10, 22

  2. Step 2: Odd-term pattern-ஐ சரிபார்க்கவும்

    Odd terms (2, 8, 20, 44) - ratio pattern? 8/2=4, 20/8=2.5, 44/20=2.2 → G.P. இல்லை.
    Difference pattern? 8-2=6, 20-8=12, 44-20=24 → differences ஒவ்வொரு முறையும் இரட்டிப்பு (differences-ல் A.P.-like growth).

  3. Step 3: Even-term pattern-ஐ சரிபார்க்கவும்

    Even terms (4, 10, 22) - 10-4=6, 22-10=12 → differences இங்கேயும் இரட்டிப்பு.

  4. Step 4: Mixed rule-ஐ அடையாளம் காணவும்

    Series-ல் A.P.-like மற்றும் G.P.-like வளர்ச்சி மாறிமாறி வருகிறது; gap ஒவ்வொரு முறையும் இரட்டிப்பு. Odd மற்றும் even இரண்டிலும் ஒரே additive doubling pattern பிரதிபலிக்கிறது.

  5. Step 5: அடுத்த term-ஐ கணிக்கவும்

    Even-term sequence-ல் அடுத்த difference = 12×2 = 24 → அடுத்த even term = 22 + 24 = 46.

  6. Final Answer:

    Next term = 46.

  7. Quick Check:

    Odd மற்றும் even subseries இரண்டும் doubling-difference rule-ஐ பின்பற்றுகின்றன → consistent ✅

Quick Variations

1. Odd-Even separation: ஒன்று A.P. ஆகவும், மற்றொன்று G.P. ஆகவும் இருக்கும்.

2. ஒவ்வொரு term = (previous term × fixed number) + constant.

3. Add மற்றும் multiply மாறிமாறி, உதா., ×2, +3, ×2, +3, …

4. ஒரு பகுதி linear growth, மற்றொன்று exponential.

5. ஒரே formula-வில் mixed: Tₙ = 2n × 3ⁿ அல்லது Tₙ = n² × 2ⁿ.

Trick to Always Use

  • Step 1 → Series-ஐ odd மற்றும் even positions-ஆக பிரிக்கவும்.
  • Step 2 → ஒவ்வொரு பகுதியும் A.P. (difference constant) அல்லது G.P. (ratio constant) ஆக உள்ளதா என சோதிக்கவும்.
  • Step 3 → எதுவும் சரியாக பொருந்தவில்லை என்றால் alternating add-multiply patterns-ஐ பாருங்கள்.
  • Step 4 → Sub-series logic-ஐ பயன்படுத்தி ஒவ்வொரு குழுவிலும் அடுத்த term-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்.
  • Step 5 → மீண்டும் இணைத்து consistency-ஐ உறுதி செய்யுங்கள்.

Summary

Summary

  • Mixed Series என்பது additive (A.P.) மற்றும் multiplicative (G.P.) patterns-ஐ இணைக்கும்.
  • Odd மற்றும் even terms-ஐ பிரிப்பது rule-ஐ விரைவாக வெளிப்படுத்தும் சிறந்த வழி.
  • பொதுவான mixed forms: alternate add-multiply அல்லது independent rules உடைய sub-series.
  • Differences மற்றும் ratios இரண்டையும் கணக்கிட்டு rule-ஐ உறுதி செய்யுங்கள்.
  • அதே sub-rule-ஐ முன்னோக்கி பயன்படுத்தி missing அல்லது next terms-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்.

Practice

(1/5)
1. Find the next term in the series: 1, 2, 3, 6, 5, 18, __
easy
A. 7
B. 54
C. 20
D. 9

Solution

  1. Step 1: Split odd and even positions

    Odd-position terms: 1 (pos1), 3 (pos3), 5 (pos5) → sequence: 1, 3, 5.

    Even-position terms: 2 (pos2), 6 (pos4), 18 (pos6) → sequence: 2, 6, 18.

  2. Step 2: Identify rules for each subsequence

    Odd subsequence 1,3,5 is an A.P. with common difference +2 (1 → 3 → 5).

    Even subsequence 2,6,18 is a G.P. with common ratio ×3 (2×3=6, 6×3=18).

  3. Step 3: Find the next term

    The next overall term is position 7 (odd). Continue the odd A.P.: next odd-term = 5 + 2 = 7.

  4. Final Answer:

    Next term = 7 → Option A.

  5. Quick Check:

    Odd positions now: 1,3,5,7 (A.P. with +2). Even positions still: 2,6,18 (G.P. with ×3). Subseries rules hold ✅

Hint: Split into odd/even positions - handle each with A.P. or G.P. separately.
Common Mistakes: Treating whole sequence as one progression instead of two interleaved subsequences.
2. Find the next term in the series: 4, 2, 7, 6, 10, 18, __
easy
A. 13
B. 36
C. 27
D. 20

Solution

  1. Step 1: Separate odd and even terms

    Odd terms (positions 1,3,5): 4, 7, 10 → these look like an A.P.

    Even terms (positions 2,4,6): 2, 6, 18 → these look like a G.P.

  2. Step 2: Determine subsequence rules

    Odd subsequence 4,7,10 is an A.P. with d = 3 (4→7→10).

    Even subsequence 2,6,18 is a G.P. with r = 3 (2×3=6, 6×3=18).

  3. Step 3: Compute next term

    Next overall term is position 7 (odd). Continue odd A.P.: next odd-term = 10 + 3 = 13.

  4. Final Answer:

    Next term = 13 → Option A.

  5. Quick Check:

    Odd subsequence becomes 4,7,10,13 (A.P. with +3). Even subsequence remains 2,6,18 (G.P. with ×3) ✅

Hint: When one subsequence is A.P. and the other G.P., handle each separately and recombine.
Common Mistakes: Applying the ratio to the A.P. subsequence or vice versa.
3. Find the next term in the series: 5, 10, 15, 30, 45, 90, __
easy
A. 120
B. 135
C. 150
D. 90

Solution

  1. Step 1: Look at odd and even positions

    Odd positions: 5 (pos1), 15 (pos3), 45 (pos5) → 5, 15, 45.

    Even positions: 10 (pos2), 30 (pos4), 90 (pos6) → 10, 30, 90.

  2. Step 2: Identify rules

    Both subsequences are G.P. with ratio ×3: 5→15→45 and 10→30→90.

  3. Step 3: Find next term

    Next overall term is position 7 (odd). Continue odd G.P.: next odd-term = 45 × 3 = 135.

  4. Final Answer:

    Next term = 135 → Option B.

  5. Quick Check:

    Odd subsequence 5,15,45,135 (×3). Even subsequence 10,30,90 (×3) - consistent ✅

Hint: If both subsequences multiply by same ratio, just extend the appropriate subsequence for the next index.
Common Mistakes: Trying to apply a single rule to the whole series rather than to each subsequence.
4. Find the next term in the series: 4, 3, 9, 6, 14, 12, 19, __
medium
A. 20
B. 22
C. 24
D. 26

Solution

  1. Step 1: Split into subsequences by parity of position

    Odd positions: 4 (pos1), 9 (pos3), 14 (pos5), 19 (pos7) → this is an A.P.

    Even positions: 3 (pos2), 6 (pos4), 12 (pos6) → this is a G.P.

  2. Step 2: Determine each rule

    Odd subsequence 4,9,14,19 is an A.P. with common difference +5.

    Even subsequence 3,6,12 is a G.P. with ratio ×2 (3→6→12).

  3. Step 3: Compute the next term

    Next overall term is position 8 (even). Continue even G.P.: next even-term = 12 × 2 = 24.

  4. Final Answer:

    Next term = 24 → Option C.

  5. Quick Check:

    Odd subsequence remains A.P. (+5). Even subsequence becomes 3,6,12,24 (×2) - both patterns hold ✅

Hint: Label positions odd/even and test for A.P. or G.P. separately before choosing the next term.
Common Mistakes: Confusing which subsequence controls the next index (odd vs even).
5. Find the next term in the series: 1, 2, 5, 10, 13, 26, __
medium
A. 28
B. 26
C. 32
D. 29

Solution

  1. Step 1: Observe alternating operations

    Check the pattern term-to-term: 1 → 2 (×2), 2 → 5 (+3), 5 → 10 (×2), 10 → 13 (+3), 13 → 26 (×2).

  2. Step 2: Identify the rule

    The sequence alternates: multiply by 2, then add 3, repeating: ×2, +3, ×2, +3, ×2, …

  3. Step 3: Apply the next operation

    Last operation was ×2 (13→26), so next is +3: 26 + 3 = 29.

  4. Final Answer:

    Next term = 29 → Option D.

  5. Quick Check:

    Sequence built as: 1, (1×2)=2, (2+3)=5, (5×2)=10, (10+3)=13, (13×2)=26, (26+3)=29 ✅

Hint: When operations alternate, write the operation sequence (×, +, ×, +, …) and apply to the last term.
Common Mistakes: Applying the wrong next operation (e.g., multiplying again instead of adding).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes