0
0

Arithmetic Progression (A.P.) – nth Term

Introduction

Arithmetic Progression (A.P.) என்பது aptitude மற்றும் reasoning தேர்வுகளில் மிக அடிப்படை மற்றும் முக்கியமான pattern-களில் ஒன்றாகும். இதில், தொடர்ச்சியான terms-களுக்கிடையிலான வேறுபாடு (difference) எப்போதும் மாறாமல் இருக்கும். இப்படியான தொடரில் எந்த ஒரு term-ஐயும் (nth term) கண்டறிவது, பல series-based கேள்விகளை வேகமாக தீர்க்க மிகவும் அவசியமானது.

Pattern: Arithmetic Progression (A.P.) – nth Term

Pattern

ஒரு A.P.-இன் nth term கீழ்காணும் formula மூலம் கிடைக்கும்: Tₙ = a + (n - 1)d

இங்கு, a = முதல் term, d = common difference, மற்றும் n = term எண்.

Step-by-Step Example

Question

A.P.: 3, 7, 11, 15, … இன் 15-வது term-ஐ காண்க.

Solution

  1. Step 1: a மற்றும் d-ஐ கண்டறியவும்:

    முதல் term, a = 3
    Common difference, d = 7 - 3 = 4

  2. Step 2: nth term formula-வை பயன்படுத்தவும்:

    Tₙ = a + (n - 1)d

  3. Step 3: மதிப்புகளை substitute செய்து கணக்கிடவும்:

    T₁₅ = 3 + (15 - 1) × 4 = 3 + 14 × 4 = 3 + 56 = 59

  4. Final Answer:

    15-வது term = 59.

  5. Quick Check:

    ஒவ்வொரு முறையும் 4 அதிகரிக்கிறது: 3, 7, 11, 15, … → 15-வது term = 59 ✅

Quick Variations

1. கொடுக்கப்பட்ட ஒரு மதிப்பு A.P.-இன் எந்த term என்பதைக் கண்டறிதல் (reverse problem).

2. nth term பயன்படுத்தி இடைப்பட்ட missing terms-ஐ கண்டுபிடித்தல்.

3. Word problems-ல் (ages, salaries, seats போன்றவை) nth term formula-வை பயன்படுத்துதல்.

Trick to Always Use

  • Step 1: Substitute செய்வதற்கு முன் a மற்றும் d மதிப்புகளை தெளிவாக எழுதுங்கள்.
  • Step 2: Terms குழப்பமாக இருந்தால், தொடர்ச்சியான இரண்டு terms-ஐ கழித்து d-ஐ கண்டறியுங்கள்.
  • Step 3: Tₙ = a + (n - 1)d formula-வை கவனமாக பயன்படுத்துங்கள் - பெரும்பாலான தவறுகள் (n - 1) தவறுவதால் நடக்கும்.

Summary

Summary

Arithmetic Progression (A.P.)-இல்:

  • தொடர்ச்சியான terms-களுக்கிடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்.
  • Formula: Tₙ = a + (n - 1)d.
  • எந்த term-ஐயும் கண்டறிய அல்லது அதன் position-ஐ அறிய பயன்படுத்தப்படுகிறது.
  • Common difference pattern மூலம் எப்போதும் verify செய்யுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. Find the 10th term of the A.P.: 2, 5, 8, 11, …
easy
A. 26
B. 27
C. 28
D. 29

Solution

  1. Step 1: Identify a and d:

    First term a = 2. Common difference d = 5 - 2 = 3.

  2. Step 2: Use the nth term formula:

    Tₙ = a + (n - 1)d

  3. Step 3: Substitute values and compute:

    T₁₀ = 2 + (10 - 1) × 3 = 2 + 9 × 3 = 2 + 27 = 29

  4. Final Answer:

    The 10th term is 29 → Option D.

  5. Quick Check:

    Add 3 repeatedly: 2, 5, 8, 11, ... (10th term = 29) ✅

Hint: Identify a and d quickly; then apply Tₙ = a + (n-1)d.
Common Mistakes: Using n instead of (n-1) in the formula.
2. Find the 12th term of the A.P.: 4, 9, 14, 19, …
easy
A. 59
B. 64
C. 54
D. 60

Solution

  1. Step 1: Identify a and d:

    First term a = 4. Common difference d = 9 - 4 = 5.

  2. Step 2: Use the nth term formula:

    Tₙ = a + (n - 1)d

  3. Step 3: Substitute values and compute:

    T₁₂ = 4 + (12 - 1) × 5 = 4 + 11 × 5 = 4 + 55 = 59

  4. Final Answer:

    The 12th term is 59 → Option A.

  5. Quick Check:

    Sequence increases by 5: 4,9,14,19,... → 12th term = 59 ✅

Hint: Subtract consecutive terms to get d, then multiply d by (n-1).
Common Mistakes: Incorrect arithmetic when multiplying (n-1) by d.
3. The 1st term of an A.P. is 6 and the 8th term is 34. Find the common difference.
easy
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Solution

  1. Step 1: Use the nth term formula for T₈:

    T₈ = a + (8 - 1)d ⇒ 34 = 6 + 7d.

  2. Step 2: Solve for d:

    34 - 6 = 7d ⇒ 28 = 7d ⇒ d = 28 ÷ 7 = 4.

  3. Final Answer:

    Common difference d = 4 → Option B.

  4. Quick Check:

    Terms: 6,10,14,18,22,26,30,34 ✅

Hint: Use d = (Tₙ - a) / (n - 1).
Common Mistakes: Forgetting to subtract the first term before dividing by (n-1).
4. Which term of the A.P. 5, 11, 17, 23, … is 65?
medium
A. 9th
B. 10th
C. 11th
D. 12th

Solution

  1. Step 1: Identify a and d:

    First term a = 5. Common difference d = 11 - 5 = 6.

  2. Step 2: Set up Tₙ = given value:

    65 = 5 + (n - 1)×6.

  3. Step 3: Solve for n:

    65 - 5 = 6(n - 1) ⇒ 60 = 6(n - 1) ⇒ n - 1 = 10 ⇒ n = 11.

  4. Final Answer:

    65 is the 11th term → Option C.

  5. Quick Check:

    11th term = 5 + 10×6 = 5 + 60 = 65 ✅

Hint: Rearrange n = [(Tₙ - a)/d] + 1.
Common Mistakes: Forgetting to add 1 after division.
5. In an A.P., the 3rd term is 12 and the 7th term is 24. Find the first term.
medium
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

Solution

  1. Step 1: Write equations for T₃ and T₇:

    T₃ = a + 2d = 12, and T₇ = a + 6d = 24.

  2. Step 2: Subtract to find d:

    (a + 6d) - (a + 2d) = 24 - 12 ⇒ 4d = 12 ⇒ d = 3.

  3. Step 3: Substitute d to find a:

    a + 2×3 = 12 ⇒ a + 6 = 12 ⇒ a = 6.

  4. Final Answer:

    First term a = 6 → Option A.

  5. Quick Check:

    Sequence: 6,9,12,15,18,21,24 ✅

Hint: Form two equations for the given terms, subtract to find d, then back-substitute to get a.
Common Mistakes: Arithmetic errors while subtracting equations or when substituting d.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes