Introduction
Difference Series என்பது, ஒவ்வொரு term-மும் அதற்கு முந்தைய term-இலிருந்து (பொதுவாக) ஒரே அளவு வித்தியாசம் கொண்டு மாறும் ஒரு sequence ஆகும். common difference அல்லது missing terms-ஐ கண்டறிதல் என்பது அடிக்கடி வரும் exam skill - number series, sequences மற்றும் reasoning problems-இல் patterns-ஐ விரைவாக புரிந்து கொள்ள இது உதவுகிறது.
இந்த pattern முக்கியமானது; ஏனெனில் இது linear patterns-ஐ அடையாளம் காண, missing information-ஐ மீட்டெடுக்க, மற்றும் series questions-இல் consistency-ஐ சரிபார்க்க பயிற்சி அளிக்கிறது.
Pattern: Difference Series (Finding Common Difference or Missing Terms)
Key idea: தொடர்ச்சியான terms-களுக்கிடையிலான difference constant ஆக இருந்தால், அந்த sequence ஒரு Arithmetic Progression (A.P.) ஆகும்; அதன் common difference d.
nth term formula (a = first term, d = common difference):
Tₙ = a + (n - 1)·d
d-ஐ கண்டுபிடிக்க: அடுத்த term-இலிருந்து முந்தைய term-ஐ கழிக்கவும்:
d = T₂ - T₁ = T₃ - T₂ = ….
missing term-ஐ கண்டுபிடிக்க: nth-term formula-ஐ பயன்படுத்தவும் அல்லது d-ஐ வைத்து தொடர்ச்சியாக நிரப்பவும்.
Step-by-Step Example
Question
7, __, 15, 19, 23 என்ற series-இல் missing term-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்.
Solution
-
Step 1: தொடர்ச்சியான differences-ஐ பார்க்கவும்
முடிந்த இடங்களில் differences-ஐ கணக்கிடுங்கள்: 15 - ? மற்றும் 19 - 15 = 4, 23 - 19 = 4. கடைசி இரண்டு differences 4 ஆக உள்ளன; ஆகவே common difference d = 4 என்று தெரிகிறது.
-
Step 2: d-ஐ பயன்படுத்தி missing term-ஐ backfill செய்யவும்
15 - d = missing term → 15 - 4 = 11. first term-உடன் சரிபார்க்கவும்: 7 → 7 + 4 = 11 (consistent).
-
Step 3: முடிக்கப்பட்ட series-ஐ எழுதவும்
7, 11, 15, 19, 23.
-
Final Answer:
Missing term = 11.
-
Quick Check:
எல்லா தொடர்ச்சியான differences: 11 - 7 = 4, 15 - 11 = 4, 19 - 15 = 4, 23 - 19 = 4 ✅
Quick Variations
1. Forward fill: a மற்றும் d கொடுக்கப்பட்டால், Tₙ = a + (n-1)d பயன்படுத்தி terms-ஐ உருவாக்கவும்.
2. Backward fill: பின்னர் வரும் terms கொடுக்கப்பட்டால், d-ஐ மீண்டும் மீண்டும் கழித்து முன்னைய missing terms-ஐ கண்டுபிடிக்கவும்.
3. Multiple missing slots: index positions-ஐ (உதா., positions 2 மற்றும் 4 missing) பயன்படுத்தி nth-term formula-யுடன் equations அமைத்து solve செய்யவும்.
4. Non-constant apparent differences: differences மாறினால், second differences-ஐ சரிபார்க்கவும் - constant second differences இருந்தால் அது quadratic pattern (A.P. அல்ல).
Trick to Always Use
- Step 1 → Simple differences-ஐ கணக்கிடுங்கள்: அருகிலுள்ள known terms-ஐ கழித்து d-ஐ ஊகிக்கவும்.
- Step 2 → Consistency-ஐ உறுதி செய்யுங்கள்: d constant என்பதை உறுதி செய்ய குறைந்தது இரண்டு gaps-ஐ சரிபார்க்கவும்.
- Step 3 → nth-term formula-ஐ பயன்படுத்துங்கள்: adjacent அல்லாத missing terms-க்கு Tₙ = a + (n-1)d வைத்து unknowns-ஐ solve செய்யவும்.
Summary
Difference Series குறித்த முக்கிய குறிப்புகள்:
- Difference Series பொதுவாக A.P. ஆக இருக்கும் - தொடர்ச்சியான terms-ஐ கழித்து common difference d-ஐ கண்டறியவும்.
- எந்த term-யையும் கணக்கிட அல்லது missing ones-ஐ positions மூலம் கண்டுபிடிக்க Tₙ = a + (n - 1)d பயன்படுத்தவும்.
- differences constant இல்லையெனில், second differences-ஐ சரிபார்த்து non-linear patterns (quadratic sequences) என்பதை கண்டறியவும்.
- missing values-ஐ நிரப்பிய பிறகு, தொடர்ச்சியான differences-ஐ மீண்டும் கணக்கிட்டு quick check செய்வது அவசியம்.