Raised Fist0

Sum of Digits / Digital Root

Start learning this pattern below

Jump into concepts and practice - no test required

or
Recommended
Test this pattern10 questions across easy, medium, and hard to know if this pattern is strong

Introduction

Sum of Digits மற்றும் Digital Root என்ற patterns, பெரிய எண்களை விரைவாக ஒரு ஒற்றை இலக்க பிரதிநிதியாகக் குறைக்க உதவுகின்றன. இவை குறிப்பாக 3 மற்றும் 9 க்கான divisibility checks, checksum problems, மற்றும் தேர்வுகளில் மீண்டும் மீண்டும் வரும் கூட்டல் பணிகளை எளிமைப்படுத்த பயன்படுகின்றன.

Pattern: Sum of Digits / Digital Root

Pattern: Sum of Digits / Digital Root

ஒரு எண்ணின் digital root என்பது, அதன் இலக்கங்களை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டி, இறுதியில் ஒரு இலக்கம் மட்டும் மிஞ்சும் வரை பெறப்படும் மதிப்பு. 3 மற்றும் 9 க்கான வகுபாடு சோதனைக்கு sum-of-digits பயன்படுத்தவும், வேகமான கணக்கீட்டிற்கு modular formula பயன்படுத்தவும்.

  • Sum of digits (S): decimal இலக்கங்கள் d_k...d_1d_0 கொண்ட n என்ற எண்ணிற்கு, S(n) = d_0 + d_1 + ... + d_k.
  • Digital root (DR): பெறப்பட்ட S-ஐ, முடிவு ஒரு இலக்கம் (0-9) ஆகும் வரை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துங்கள்.
  • Fast modular formula:
    n > 0 என்றால், DR(n) = 1 + ((n - 1) mod 9). n = 0 என்றால், DR(0) = 0.
  • Divisibility tests using digit sum:
    • S(n) 3-ஆல் வகுபட்டால் → n, 3-ஆல் வகுபடும்.
    • S(n) 9-ஆல் வகுபட்டால் → n, 9-ஆல் வகுபடும்.
  • Casting out 9s: இலக்கக் கூட்டிலிருந்து 9-ஐ கழித்தாலும் mod 9 இன் மீதி மாறாது; பெரிய இலக்கக் கூட்டுகளை மனக்கணக்கில் எளிமைப்படுத்த இது உதவும்.
  • Relation to mod 9: (முடிவு 9 ஆகும் நிலையைத் தவிர) digital root என்பது n mod 9 உடன் தொடர்புடையது; குறிப்பாக n ≡ 0 (mod 9) என்றால் DR(n) = 0, இல்லையெனில் DR(n) = n mod 9 (அல்லது 1 + ((n - 1) mod 9) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்).

Step-by-Step Example

Question

(a) 987654 என்ற எண்ணின் digital root ஐ கண்டறியுங்கள்.
(b) sum-of-digits பயன்படுத்தி, 987654 என்பது 3 மற்றும் 9-ஆல் வகுபடுமா என்பதைத் தீர்மானியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: இலக்கங்களின் கூட்டை கணக்கிடுதல்:

    S(987654) = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39.

  2. Step 2: digital root (iterative method) பெறுதல்:

    S(39) = 3 + 9 = 12.
    S(12) = 1 + 2 = 3.
    ஆகவே, DR(987654) = 3.

  3. Step 3: modular formula பயன்படுத்தி (quick check):

    DR = 1 + ((987654 - 1) mod 9). 987654 mod 9 ஐ கணக்கிட: S = 39, 39 mod 9 = 3, ஆகவே DR = 3 (iterative முடிவுடன் பொருந்துகிறது).

  4. Step 4: வகுபாடு முடிவுகள்:

    DR = 3 என்பதால் (அதாவது இலக்கக் கூட்டு 39, 3-ஆல் வகுபடும் ஆனால் 9-ஆல் இல்லை), 987654 என்பது 3-ஆல் வகுபடும் ஆனால் 9-ஆல் வகுபடாது.

  5. Final Answer:

    (a) Digital root = 3.
    (b) 3-ஆல் வகுபடும்: Yes. 9-ஆல் வகுபடும்: No.

  6. Quick Check:

    சரிபார்ப்பு: 987654 ÷ 3 = 329218 (integer). 987654 ÷ 9 = 109739.333... (integer அல்ல) → முடிவுகள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டன. ✅

Quick Variations

1. Missing digit பிரச்சினைகள்: அறியப்படாத இலக்கம் x கொண்ட எண்ணின் இலக்கக் கூட்டு S ஆக இருந்தால், அது 9-ஆல் வகுபட வேண்டுமெனில் (S + x) ≡ 0 (mod 9) ஆகும் வகையில் x-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

2. Negative numbers: இலக்கக் கூட்டு மற்றும் digital root க்கு absolute value பயன்படுத்தவும்.

3. Base-b generalization: digital root கருத்து, 9-க்கு பதிலாக (b-1) modulus பயன்படுத்தி மற்ற base-களுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → இலக்கக் கூட்டை கணக்கிடுங்கள்; பெரியதாக இருந்தால் casting out 9s (9-ஐ மீண்டும் மீண்டும் கழித்தல்) செய்து எண்ணை விரைவாகச் சுருக்குங்கள்.
  • Step 2 → modulus-இல் நம்பிக்கை இருந்தால், உடனடி முடிவிற்கு DR = 1 + ((n - 1) mod 9) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 3 → 3 அல்லது 9-ஆல் வகுபடும் missing-digit பிரச்சினைகளில், (அறியப்பட்ட கூட்டு + x) ≡ 0 (mod 3 அல்லது mod 9) என அமைத்து x-ஐ விரைவாகக் கண்டறியுங்கள்.

Summary

  • 3 மற்றும் 9 க்கான வகுபாட்டை விரைவாக அறிய sum-of-digits பயன்படுத்துங்கள்.
  • ஒரு இலக்கம் மட்டும் மிஞ்சும் வரை இலக்கங்களை கூட்டி digital root ஐ கணக்கிடுங்கள்.
  • உடனடி ஒற்றை இலக்க முடிவிற்கு DR(n) = 1 + ((n - 1) mod 9) என்ற வேகமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்.
  • Missing-digit பிரச்சினைகளில், இலக்கக் கூட்டை பயன்படுத்தி (mod 3 அல்லது mod 9) congruences அமைக்கவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
987654 என்ற எண்ணின் இலக்கக் கூட்டு 39 → digital root 3 → 3-ஆல் வகுபடும் ஆனால் 9-ஆல் வகுபடாது.

Practice

(1/5)
1. Find the digital root of 4729.
easy
A. 4
B. 5
C. 3
D. 6

Solution

  1. Step 1: Compute sum of digits:

    4 + 7 + 2 + 9 = 22.

  2. Step 2: Reduce to single digit (iterative):

    2 + 2 = 4 → digital root = 4.

  3. Final Answer:

    Digital root = 4 → Option A.

  4. Quick Check:

    Using formula DR = 1 + ((n - 1) mod 9): 4729 mod 9 = 22 mod 9 = 4 → DR = 4 ✅
Hint: Sum digits and reduce (or use DR = 1 + ((n-1) mod 9)).
Common Mistakes: Stopping after one sum without reducing to a single digit when necessary.
2. Which of the following numbers is divisible by 9?
easy
A. 738
B. 739
C. 740
D. 742

Solution

  1. Step 1: Rule for 9:

    A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.

  2. Step 2: Check options (example for 738):

    7+3+8 = 18 → 18 is divisible by 9, so 738 is divisible by 9. (739 → 7+3+9=19 not; 740 → 7+4+0=11 not; 742 → 7+4+2=13 not.)

  3. Final Answer:

    738 → Option A.

  4. Quick Check:

    738 ÷ 9 = 82 → integer ✅
Hint: Use digit-sum test for 9 instead of long division.
Common Mistakes: Checking only the last digit or using the rule for 3 instead of 9.
3. Find the digit x (0-9) such that 4x6 is divisible by 9.
easy
A. 1
B. 8
C. 9
D. 7

Solution

  1. Step 1: Sum-of-digits condition for 9:

    4 + x + 6 must be divisible by 9.

  2. Step 2: Solve congruence:

    4 + x + 6 = 10 + x ≡ 0 (mod 9) → x ≡ -10 ≡ -1 ≡ 8 (mod 9). So x = 8 (single-digit solution).

  3. Final Answer:

    x = 8 → Option B.

  4. Quick Check:

    4 + 8 + 6 = 18 → 18 ÷ 9 = 2 → 486 is divisible by 9 ✅
Hint: Solve (known sum + x) ≡ 0 (mod 9) for missing digit x.
Common Mistakes: Forgetting to reduce modulo 9 and testing incorrect candidate digits.
4. Find the digital root of 7^5.
medium
A. 3
B. 5
C. 4
D. 9

Solution

  1. Step 1: Use mod 9 property:

    Digital root corresponds to value mod 9 (with 9 mapped to 9 or 0 case). Compute 7^5 (mod 9).

  2. Step 2: Reduce powers modulo 9:

    7 ≡ 7 (mod 9). 7^2 ≡ 49 ≡ 4 (mod 9). 7^3 ≡ 7^2 × 7 ≡ 4 × 7 = 28 ≡ 1 (mod 9). So cycle length 3 here; 7^5 = 7^3 × 7^2 ≡ 1 × 4 = 4 (mod 9).

  3. Final Answer:

    Digital root = 4 → Option C.

  4. Quick Check:

    Since 7^5 ≡ 4 (mod 9), DR = 4 (not 9). ✅
Hint: Compute base mod 9 and use exponent cycles to find result mod 9 quickly.
Common Mistakes: Trying to compute full power instead of using modular reduction.
5. What is the digital root of 2^100?
medium
A. 1
B. 8
C. 9
D. 7

Solution

  1. Step 1: Use mod 9 property and cycle length:

    Compute 2^100 (mod 9). Note 2^6 ≡ 64 ≡ 1 (mod 9), so powers of 2 cycle every 6 in mod 9.

  2. Step 2: Reduce exponent modulo cycle:

    100 mod 6 = 4 → 2^100 ≡ 2^4 ≡ 16 ≡ 7 (mod 9).

  3. Final Answer:

    Digital root = 7 → Option D.

  4. Quick Check:

    Because 2^4 = 16 and 16 mod 9 = 7, and cycle repeats every 6, 2^100 has same DR as 2^4 → 7 ✅
Hint: Find exponent mod cycle length (6) for base 2 under mod 9, then compute small power.
Common Mistakes: Forgetting Euler/cycle behaviour and trying to compute huge powers directly.