0
0

Sum of Digits / Digital Root

Introduction

Sum of Digits மற்றும் Digital Root என்ற patterns, பெரிய எண்களை விரைவாக ஒரு ஒற்றை இலக்க பிரதிநிதியாகக் குறைக்க உதவுகின்றன. இவை குறிப்பாக 3 மற்றும் 9 க்கான divisibility checks, checksum problems, மற்றும் தேர்வுகளில் மீண்டும் மீண்டும் வரும் கூட்டல் பணிகளை எளிமைப்படுத்த பயன்படுகின்றன.

Pattern: Sum of Digits / Digital Root

Pattern

ஒரு எண்ணின் digital root என்பது, அதன் இலக்கங்களை மீண்டும் மீண்டும் கூட்டி, இறுதியில் ஒரு இலக்கம் மட்டும் மிஞ்சும் வரை பெறப்படும் மதிப்பு. 3 மற்றும் 9 க்கான வகுபாடு சோதனைக்கு sum-of-digits பயன்படுத்தவும், வேகமான கணக்கீட்டிற்கு modular formula பயன்படுத்தவும்.

  • Sum of digits (S): decimal இலக்கங்கள் d_k...d_1d_0 கொண்ட n என்ற எண்ணிற்கு, S(n) = d_0 + d_1 + ... + d_k.
  • Digital root (DR): பெறப்பட்ட S-ஐ, முடிவு ஒரு இலக்கம் (0-9) ஆகும் வரை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துங்கள்.
  • Fast modular formula:
    n > 0 என்றால், DR(n) = 1 + ((n - 1) mod 9). n = 0 என்றால், DR(0) = 0.
  • Divisibility tests using digit sum:
    • S(n) 3-ஆல் வகுபட்டால் → n, 3-ஆல் வகுபடும்.
    • S(n) 9-ஆல் வகுபட்டால் → n, 9-ஆல் வகுபடும்.
  • Casting out 9s: இலக்கக் கூட்டிலிருந்து 9-ஐ கழித்தாலும் mod 9 இன் மீதி மாறாது; பெரிய இலக்கக் கூட்டுகளை மனக்கணக்கில் எளிமைப்படுத்த இது உதவும்.
  • Relation to mod 9: (முடிவு 9 ஆகும் நிலையைத் தவிர) digital root என்பது n mod 9 உடன் தொடர்புடையது; குறிப்பாக n ≡ 0 (mod 9) என்றால் DR(n) = 0, இல்லையெனில் DR(n) = n mod 9 (அல்லது 1 + ((n - 1) mod 9) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்).

Step-by-Step Example

Question

(a) 987654 என்ற எண்ணின் digital root ஐ கண்டறியுங்கள்.
(b) sum-of-digits பயன்படுத்தி, 987654 என்பது 3 மற்றும் 9-ஆல் வகுபடுமா என்பதைத் தீர்மானியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: இலக்கங்களின் கூட்டை கணக்கிடுதல்:

    S(987654) = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39.

  2. Step 2: digital root (iterative method) பெறுதல்:

    S(39) = 3 + 9 = 12.
    S(12) = 1 + 2 = 3.
    ஆகவே, DR(987654) = 3.

  3. Step 3: modular formula பயன்படுத்தி (quick check):

    DR = 1 + ((987654 - 1) mod 9). 987654 mod 9 ஐ கணக்கிட: S = 39, 39 mod 9 = 3, ஆகவே DR = 3 (iterative முடிவுடன் பொருந்துகிறது).

  4. Step 4: வகுபாடு முடிவுகள்:

    DR = 3 என்பதால் (அதாவது இலக்கக் கூட்டு 39, 3-ஆல் வகுபடும் ஆனால் 9-ஆல் இல்லை), 987654 என்பது 3-ஆல் வகுபடும் ஆனால் 9-ஆல் வகுபடாது.

  5. Final Answer:

    (a) Digital root = 3.
    (b) 3-ஆல் வகுபடும்: Yes. 9-ஆல் வகுபடும்: No.

  6. Quick Check:

    சரிபார்ப்பு: 987654 ÷ 3 = 329218 (integer). 987654 ÷ 9 = 109739.333... (integer அல்ல) → முடிவுகள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டன. ✅

Quick Variations

1. Missing digit பிரச்சினைகள்: அறியப்படாத இலக்கம் x கொண்ட எண்ணின் இலக்கக் கூட்டு S ஆக இருந்தால், அது 9-ஆல் வகுபட வேண்டுமெனில் (S + x) ≡ 0 (mod 9) ஆகும் வகையில் x-ஐத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

2. Negative numbers: இலக்கக் கூட்டு மற்றும் digital root க்கு absolute value பயன்படுத்தவும்.

3. Base-b generalization: digital root கருத்து, 9-க்கு பதிலாக (b-1) modulus பயன்படுத்தி மற்ற base-களுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → இலக்கக் கூட்டை கணக்கிடுங்கள்; பெரியதாக இருந்தால் casting out 9s (9-ஐ மீண்டும் மீண்டும் கழித்தல்) செய்து எண்ணை விரைவாகச் சுருக்குங்கள்.
  • Step 2 → modulus-இல் நம்பிக்கை இருந்தால், உடனடி முடிவிற்கு DR = 1 + ((n - 1) mod 9) பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 3 → 3 அல்லது 9-ஆல் வகுபடும் missing-digit பிரச்சினைகளில், (அறியப்பட்ட கூட்டு + x) ≡ 0 (mod 3 அல்லது mod 9) என அமைத்து x-ஐ விரைவாகக் கண்டறியுங்கள்.

Summary

Summary

  • 3 மற்றும் 9 க்கான வகுபாட்டை விரைவாக அறிய sum-of-digits பயன்படுத்துங்கள்.
  • ஒரு இலக்கம் மட்டும் மிஞ்சும் வரை இலக்கங்களை கூட்டி digital root ஐ கணக்கிடுங்கள்.
  • உடனடி ஒற்றை இலக்க முடிவிற்கு DR(n) = 1 + ((n - 1) mod 9) என்ற வேகமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துங்கள்.
  • Missing-digit பிரச்சினைகளில், இலக்கக் கூட்டை பயன்படுத்தி (mod 3 அல்லது mod 9) congruences அமைக்கவும்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
987654 என்ற எண்ணின் இலக்கக் கூட்டு 39 → digital root 3 → 3-ஆல் வகுபடும் ஆனால் 9-ஆல் வகுபடாது.

Practice

(1/5)
1. Find the digital root of 4729.
easy
A. 4
B. 5
C. 3
D. 6

Solution

  1. Step 1: Compute sum of digits:

    4 + 7 + 2 + 9 = 22.

  2. Step 2: Reduce to single digit (iterative):

    2 + 2 = 4 → digital root = 4.

  3. Final Answer:

    Digital root = 4 → Option A.

  4. Quick Check:

    Using formula DR = 1 + ((n - 1) mod 9): 4729 mod 9 = 22 mod 9 = 4 → DR = 4 ✅
Hint: Sum digits and reduce (or use DR = 1 + ((n-1) mod 9)).
Common Mistakes: Stopping after one sum without reducing to a single digit when necessary.
2. Which of the following numbers is divisible by 9?
easy
A. 738
B. 739
C. 740
D. 742

Solution

  1. Step 1: Rule for 9:

    A number is divisible by 9 if the sum of its digits is divisible by 9.

  2. Step 2: Check options (example for 738):

    7+3+8 = 18 → 18 is divisible by 9, so 738 is divisible by 9. (739 → 7+3+9=19 not; 740 → 7+4+0=11 not; 742 → 7+4+2=13 not.)

  3. Final Answer:

    738 → Option A.

  4. Quick Check:

    738 ÷ 9 = 82 → integer ✅
Hint: Use digit-sum test for 9 instead of long division.
Common Mistakes: Checking only the last digit or using the rule for 3 instead of 9.
3. Find the digit x (0-9) such that 4x6 is divisible by 9.
easy
A. 1
B. 8
C. 9
D. 7

Solution

  1. Step 1: Sum-of-digits condition for 9:

    4 + x + 6 must be divisible by 9.

  2. Step 2: Solve congruence:

    4 + x + 6 = 10 + x ≡ 0 (mod 9) → x ≡ -10 ≡ -1 ≡ 8 (mod 9). So x = 8 (single-digit solution).

  3. Final Answer:

    x = 8 → Option B.

  4. Quick Check:

    4 + 8 + 6 = 18 → 18 ÷ 9 = 2 → 486 is divisible by 9 ✅
Hint: Solve (known sum + x) ≡ 0 (mod 9) for missing digit x.
Common Mistakes: Forgetting to reduce modulo 9 and testing incorrect candidate digits.
4. Find the digital root of 7^5.
medium
A. 3
B. 5
C. 4
D. 9

Solution

  1. Step 1: Use mod 9 property:

    Digital root corresponds to value mod 9 (with 9 mapped to 9 or 0 case). Compute 7^5 (mod 9).

  2. Step 2: Reduce powers modulo 9:

    7 ≡ 7 (mod 9). 7^2 ≡ 49 ≡ 4 (mod 9). 7^3 ≡ 7^2 × 7 ≡ 4 × 7 = 28 ≡ 1 (mod 9). So cycle length 3 here; 7^5 = 7^3 × 7^2 ≡ 1 × 4 = 4 (mod 9).

  3. Final Answer:

    Digital root = 4 → Option C.

  4. Quick Check:

    Since 7^5 ≡ 4 (mod 9), DR = 4 (not 9). ✅
Hint: Compute base mod 9 and use exponent cycles to find result mod 9 quickly.
Common Mistakes: Trying to compute full power instead of using modular reduction.
5. What is the digital root of 2^100?
medium
A. 1
B. 8
C. 9
D. 7

Solution

  1. Step 1: Use mod 9 property and cycle length:

    Compute 2^100 (mod 9). Note 2^6 ≡ 64 ≡ 1 (mod 9), so powers of 2 cycle every 6 in mod 9.

  2. Step 2: Reduce exponent modulo cycle:

    100 mod 6 = 4 → 2^100 ≡ 2^4 ≡ 16 ≡ 7 (mod 9).

  3. Final Answer:

    Digital root = 7 → Option D.

  4. Quick Check:

    Because 2^4 = 16 and 16 mod 9 = 7, and cycle repeats every 6, 2^100 has same DR as 2^4 → 7 ✅
Hint: Find exponent mod cycle length (6) for base 2 under mod 9, then compute small power.
Common Mistakes: Forgetting Euler/cycle behaviour and trying to compute huge powers directly.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes