0
0

Cyclicity of Digits (Last Digit Problems)

Introduction

Last-digit (cyclicity) பிரச்சினைகள் என்பது, மிகப் பெரிய power அல்லது மீண்டும் மீண்டும் வரும் பெருக்கல்களின் last digit ஐ முழு கணக்கீடு செய்யாமல் கண்டுபிடிப்பதை குறிக்கிறது. இந்த கேள்விகள் aptitude tests இல் பொதுவாக வரும், ஏனெனில் கடைசி இலக்கம் ஒரு repeating pattern அல்லது cycle ஐப் பின்பற்றுகிறது. அந்த cycle தெரிந்தால், மிகப் பெரிய exponent இருந்தாலும் last digit-ஐ விரைவாகக் கண்டறியலாம்.

Pattern: Cyclicity of Digits (Last Digit Problems)

Pattern

powers-இன் last digit ஒரு நிலையான cycle-ஆக மீண்டும் மீண்டும் வருகிறது. base-ஐ அதன் last digit-ஆகக் குறைத்து, cycle-ஐ கண்டறிந்து, exponent-ஐ cycle length-ஆல் வகுத்த மீதியைப் பயன்படுத்தி last digit-ஐ பெறுங்கள்.

  • Step 1: Base-ஐ last digit-ஆகக் குறைத்தல்: முடிவில் பாதிப்பை ஏற்படுத்துவது base-ன் last digit மட்டும். ஆகவே base-ஐ (base mod 10) ஆக மாற்றுங்கள்.
  • Step 2: இந்த standard cycles-ஐ நினைவில் கொள்ளுங்கள்:
    • 0 → [0] (length 1)
    • 1 → [1] (length 1)
    • 2 → [2, 4, 8, 6] (length 4)
    • 3 → [3, 9, 7, 1] (length 4)
    • 4 → [4, 6] (length 2)
    • 5 → [5] (length 1)
    • 6 → [6] (length 1)
    • 7 → [7, 9, 3, 1] (length 4)
    • 8 → [8, 4, 2, 6] (length 4)
    • 9 → [9, 1] (length 2)
  • Step 3: Exponent-ஐ குறைத்தல்: cycle length = L என்றால், r = (exponent mod L) எனக் கணக்கிடுங்கள். r = 0 என்றால், r = L என எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். cycle-இன் r-வது எண்ணே last digit.
  • Step 4: Special cases கையாளுதல்: base-ன் last digit 0, 1, 5, அல்லது 6 ஆக இருந்தால் → last digit எப்போதும் மாறாது.

Step-by-Step Example

Question

72024 என்பதின் last digit-ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: Cycle-ஐ கண்டறிதல்:

    7-ன் powers-இன் last digit cycle: [7, 9, 3, 1]. ஆகவே cycle length L = 4.

  2. Step 2: Exponent-ஐ குறைத்தல்:

    2024 mod 4 = 0 → remainder 0 ஆக இருந்தால் r = 4.

  3. Step 3: Cycle-இன் r-வது உறுப்பைத் தேர்வு செய்தல்:

    [7, 9, 3, 1] இல் 4-வது உறுப்பு 1.

  4. Final Answer:

    72024 இன் last digit = 1.

  5. Quick Check:

    7-ன் ஒவ்வொரு 4-வது power-க்கும் last digit 1 ஆக இருக்கும்; 72024 (4-ன் multiple) → last digit 1 ✅

Quick Variations

1. (am × bn) போன்றவற்றின் last digit-ஐக் காண, இரண்டையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிட்டு last digits-ஐ பெருக்குங்கள்.

2. a(bc) போன்ற expressions-இல், மேலுள்ள exponent-ஐ cycle length mod-ஆகக் குறைக்கவும்.

3. base-ன் last digit 0, 1, 5, அல்லது 6 ஆக இருந்தால் → மேலதிக கணக்கீடு தேவையில்லை; last digit அதேதான்.

Trick to Always Use

  • Step 1: base-ன் last digit மட்டும் கவனியுங்கள்.
  • Step 2: standard cycles-ஐ (குறிப்பாக 2, 3, 7, 8) மனப்பாடம் செய்யுங்கள்.
  • Step 3: exponent-ஐ cycle length mod-ஆகக் குறைத்து அந்த term-ஐ எடுக்குங்கள்.
  • Step 4: remainder 0 என்றால், cycle-இன் கடைசி எண்ணை எடுத்துக்கொள்ளுங்கள்.

Summary

Summary

Cyclicity of Digits பிரச்சினைகளில்:

  • last digit மட்டும் முக்கியம்.
  • ஒவ்வொரு இலக்கமும் (0-9) ஒரு நிலையான repetition cycle-ஐப் பின்பற்றுகிறது.
  • exponent-ஐ cycle length modulo-ஆகக் குறைத்து சரியான last digit-ஐத் தேர்வு செய்யுங்கள்.
  • இந்த முறை, மிகப் பெரிய exponents இருந்தாலும் உடனடியாக வேலை செய்கிறது.

Practice

(1/5)
1. Find the last digit of 2^9.
easy
A. 2
B. 4
C. 8
D. 6

Solution

  1. Step 1: Use only the last digit of the base:

    The last digit of 2^k depends on the cycle for 2: [2, 4, 8, 6].

  2. Step 2: Find cycle position:

    Cycle length L = 4. Compute 9 mod 4 = 1, so use the 1st element of the cycle.

  3. Step 3: Read the last digit:

    Cycle[1] = 2 → last digit = 2.

  4. Final Answer:

    Last digit = 2 → Option A.

  5. Quick Check:

    2^9 = 512 → last digit 2 ✅
Hint: For base 2, use cycle [2,4,8,6] and take exponent mod 4.
Common Mistakes: Forgetting to use exponent mod cycle length or indexing the cycle wrongly.
2. Find the last digit of 3^7.
easy
A. 3
B. 7
C. 9
D. 1

Solution

  1. Step 1: Reduce base to its last digit:

    Use last-digit cycle for 3: [3, 9, 7, 1].

  2. Step 2: Reduce exponent modulo cycle length:

    Cycle length L = 4. 7 mod 4 = 3, so use the 3rd element of the cycle.

  3. Step 3: Read the last digit:

    Cycle[3] = 7 → last digit = 7.

  4. Final Answer:

    Last digit = 7 → Option B.

  5. Quick Check:

    3^7 = 2187 → last digit 7 ✅
Hint: Remember 3's cycle [3,9,7,1]; take exponent mod 4 to choose position.
Common Mistakes: Using the wrong cycle index when exponent modulo result is 0 or off-by-one indexing.
3. Find the last digit of 7^25.
easy
A. 7
B. 9
C. 3
D. 1

Solution

  1. Step 1: Use last-digit cycle for 7:

    7 → [7, 9, 3, 1], cycle length L = 4.

  2. Step 2: Reduce exponent modulo cycle length:

    25 mod 4 = 1, so use the 1st element of the cycle.

  3. Step 3: Read the last digit:

    Cycle[1] = 7 → last digit = 7.

  4. Final Answer:

    Last digit = 7 → Option A.

  5. Quick Check:

    Powers repeat every 4; 7^25 has same last digit as 7^1 → 7 ✅
Hint: For base 7, cycle [7,9,3,1]; if exponent ≡ 1 (mod 4) answer is 7.
Common Mistakes: Not reducing exponent modulo 4 or misreading cycle order.
4. Find the last digit of 8^16.
medium
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

Solution

  1. Step 1: Last-digit cycle for 8:

    8 → [8, 4, 2, 6], cycle length L = 4.

  2. Step 2: Reduce exponent modulo cycle length:

    16 mod 4 = 0. When remainder = 0, use the 4th element of the cycle.

  3. Step 3: Read the 4th element:

    Cycle[4] = 6 → last digit = 6.

  4. Final Answer:

    Last digit = 6 → Option C.

  5. Quick Check:

    Because 16 is a multiple of 4, 8^16 ends with the same digit as 8^4, which is 6 ✅
Hint: If exponent mod cycle = 0, pick last cycle element; 8's cycle last element is 6.
Common Mistakes: Using remainder 0 as index 0 instead of mapping to the last cycle element.
5. Find the last digit of (2^5 × 3^7).
medium
A. 2
B. 6
C. 8
D. 4

Solution

  1. Step 1: Find last digit of each factor separately:

    For 2^5: cycle [2,4,8,6], 5 mod 4 = 1 → last digit = 2. For 3^7: cycle [3,9,7,1], 7 mod 4 = 3 → last digit = 7.

  2. Step 2: Multiply the last digits and take final last digit:

    2 × 7 = 14 → last digit of product = 4.

  3. Final Answer:

    Last digit = 4 → Option D.

  4. Quick Check:

    Compute small powers if needed: 2^5 ends with 2, 3^7 ends with 7, 2×7 gives 14 → last digit 4 ✅
Hint: Compute last digits separately, multiply them, then take last digit of the result.
Common Mistakes: Multiplying full large numbers instead of using last-digit cycles for each factor.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes