0
0

Even, Odd, Prime, Composite

Introduction

எண்களை even, odd, prime, அல்லது composite என வகைப்படுத்துவது number theory மற்றும் aptitude problems ஆகியவற்றின் அடிப்படை அம்சமாகும். இந்த வகைப்பாடுகள் pattern recognition, divisibility shortcuts, மேலும் factorization மற்றும் modular arithmetic போன்ற மேம்பட்ட பிரச்சினைகளுக்கான தீர்வு நுட்பங்களை உருவாக்க உதவுகின்றன.

Pattern: Even, Odd, Prime, Composite

Pattern

எளிய வகுபாடு விதிகள் மற்றும் வகுபாட்டாளர்களின் எண்ணிக்கை விதிகளை பயன்படுத்தி முழு எண்களை விரைவாக வகைப்படுத்துங்கள்.

  • Even: ஒரு முழு எண் n, n ≡ 0 (mod 2) என்றால் அது even. நடைமுறையில்: கடைசி இலக்கம் ∈ {0,2,4,6,8}.
  • Odd: ஒரு முழு எண் n, n ≡ 1 (mod 2) என்றால் அது odd. கடைசி இலக்கம் ∈ {1,3,5,7,9}.
  • Prime: ஒரு முழு எண் p > 1, 1 மற்றும் p மட்டுமே அதன் நேர்ம வகுபாட்டாளர்கள் என்றால் அது prime. நடைமுறை சோதனை: √p க்கு குறைவான அல்லது சமமான அனைத்து prime எண்களாலும் வகுபடுகிறதா எனச் சரிபார்க்கவும்.
  • Composite: ஒரு முழு எண் n > 1, 1 < d < n என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் ஒரு வகுபாட்டாளர் d இருந்தால் (அதாவது இரண்டு விட அதிகமான நேர்ம வகுபாட்டாளர்கள் இருந்தால்) அது composite.
  • Special note: 1 என்பது prime அல்ல, composite கூட அல்ல.
  • Quick primality shortcuts:
    • n even ஆகவும் n > 2 ஆகவும் இருந்தால் → composite.
    • இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 3-ஆல் வகுபட்டால் (n > 3) → composite.
    • கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5 ஆக இருந்தால் (n > 5) → composite.
    • 3-ஐ விட பெரிய prime எண்கள் 6k ± 1 என்ற வடிவில் மட்டுமே இருக்கும் (சோதனைகளை குறைக்க உதவும்), ஆனால் √n வரை வகுபாடு சோதனை அவசியம்.
    • Sieve of Eratosthenes: N வரை உள்ள prime எண்களை பட்டியலிட ஒரு திறமையான முறை (கண்டுபிடிக்கப்பட்ட prime எண்களின் பெருக்குகளை நீக்குதல்).
  • Formal primality test (practical): n ஐ சோதிக்க: முதலில் 2, 3, பின்னர் 5, 7, 11, ... போன்ற prime எண்களால் ⌊√n⌋ வரை வகுபடுகிறதா எனப் பார்க்கவும். எதாலும் வகுபடவில்லை என்றால் → prime; இல்லையெனில் composite.

Step-by-Step Example

Question

1, 2, 29, மற்றும் 49 ஆகிய எண்களை even/odd மற்றும் prime/composite என வகைப்படுத்துங்கள்.

Solution

  1. Step 1: Number: 1

    சோதனை: 1 <= 1, இதற்கு சரியாக ஒரு நேர்ம வகுபாட்டாளர் (1) மட்டுமே உள்ளது. வரையறைப்படி, 1 என்பது neither prime nor composite. இது odd (கடைசி இலக்கம் 1), ஆனால் prime/composite வகைப்பாட்டில் “neither” எனக் கருதப்படுகிறது.

  2. Step 2: Number: 2

    even/odd சோதனை: கடைசி இலக்கம் 2 → even.

    Prime சோதனை: 2 > 1 மற்றும் அதன் வகுபாட்டாளர்கள் 1 மற்றும் 2 மட்டும் → prime (மிகச் சிறிய மற்றும் ஒரே even prime).

  3. Step 3: Number: 29

    even/odd சோதனை: கடைசி இலக்கம் 9 → odd.

    Prime சோதனை (நடைமுறை): √29 ≈ 5.38 → 5 வரை உள்ள prime எண்களை சோதிக்கவும் → {2,3,5}.

    • 29 mod 2 = 1 (வகுபடவில்லை)
    • 29 mod 3 = 2 (வகுபடவில்லை)
    • 29 mod 5 = 4 (வகுபடவில்லை)

    வகுபாட்டாளர் எதுவும் இல்லை → 29 ஒரு prime.

  4. Step 4: Number: 49

    even/odd சோதனை: கடைசி இலக்கம் 9 → odd.

    Prime சோதனை: √49 = 7 → 7 வரை உள்ள prime எண்களை சோதிக்கவும் → {2,3,5,7}.

    • 49 mod 2 = 1
    • 49 mod 3 = 1
    • 49 mod 5 = 4
    • 49 mod 7 = 0 → 7-ஆல் வகுபடும்

    வகுபாட்டாளர் 7 கிடைத்தது (1 < 7 < 49) → 49 ஒரு composite (49 = 7 × 7).

  5. Final Answer

    1 → neither prime nor composite (odd);
    2 → even & prime;
    29 → odd & prime;
    49 → odd & composite.

  6. Quick Check

    மேலே பயன்படுத்திய வகுபாடுகளை சரிபார்க்கவும்: 29-க்கு (2,3,5) போன்ற சிறிய prime வகுபாட்டாளர்கள் இல்லை. 49 ÷ 7 = 7 என்பதால் composite. 2 ÷ 2 = 1 என்பதால் prime. 1 என்பது வரையறைப்படி சிறப்பு நிலை. ✅

Quick Variations

1. (11,13), (17,19) போன்ற prime pairs (twin primes) ஐ கண்டறியுங்கள்.

2. பெரிய odd எண் prime ஆக உள்ளதா என்பதை √n வரை trial division அல்லது மிகப் பெரிய n க்கு probabilistic tests மூலம் கண்டறியுங்கள்.

3. √n வரை உள்ள prime எண்களைச் சோதித்து சிறிய composite எண்களை காரணிப்படுத்துங்கள்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → even/odd என்பதை விரைவாக அறிய கடைசி இலக்கத்தைப் பாருங்கள்.
  • Step 2 → composite எண்களை விரைவாக நீக்க 2, 3, 5 ஆகியவற்றைச் சோதிக்கவும்.
  • Step 3 → primality சோதனையில் √n வரை மட்டுமே வகுபாட்டாளர்களைச் சோதிக்கவும் (திறனுக்காக prime வகுபாட்டாளர்கள் மட்டும்).
  • Step 4 → 3-ஐ விட பெரிய prime எண்களைச் சோதிக்கும் போது 6k ± 1 வடிகட்டியைப் பயன்படுத்துங்கள்.

Summary

Summary

  • Even/odd வகைப்பாடு நேரடியாக கடைசி இலக்கத்தின் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
  • Prime/composite வகைப்பாடு வகுபாட்டாளர் சோதனைகளின் மீது निर्भरமாகும்: prime எண்களுக்கு சரியாக இரண்டு வகுபாட்டாளர்கள் (1 மற்றும் அந்த எண்) மட்டுமே இருக்கும்; composite எண்களுக்கு அதற்கு மேல் இருக்கும்.
  • 1 என்பது ஒரு சிறப்பு நிலை - அது prime அல்ல, composite கூட அல்ல.
  • 2 மட்டுமே even prime; 2-ஐ விட பெரிய அனைத்து even எண்களும் composite.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
even/odd க்கு முதலில் கடைசி இலக்கத்தைச் சரிபார்க்கவும். prime சோதனைக்கு 2, 3, 5 மற்றும் பின்னர் √n வரை உள்ள prime எண்களால் வகுபடுகிறதா எனப் பார்க்கவும். எதுவும் வகுபடவில்லை என்றால் அந்த எண் prime.

Practice

(1/5)
1. Which of the following numbers is prime?
easy
A. 29
B. 33
C. 39
D. 51

Solution

  1. Step 1: Strategy:

    To test primality for numbers like 29, check divisibility by primes ≤ √29 (i.e., 2, 3, 5).

  2. Step 2: Tests:

    29 mod 2 = 1 (not divisible), 29 mod 3 = 2 (not divisible), 29 mod 5 = 4 (not divisible). Other options: 33 = 3 × 11 (composite), 39 = 3 × 13 (composite), 51 = 3 × 17 (composite).

  3. Final Answer:

    29 is prime → Option A.

  4. Quick Check:

    No prime ≤5 divides 29, so 29 is prime. ✅
Hint: Test divisibility by small primes (2,3,5) up to √n.
Common Mistakes: Assuming odd → prime without checking divisors.
2. Which of the following is a composite number?
easy
A. 17
B. 23
C. 25
D. 19

Solution

  1. Step 1: Strategy:

    Composite numbers have more than two positive divisors; check for small factor patterns.

  2. Step 2: Tests:

    17 → prime. 23 → prime. 25 → 5 × 5 → composite. 19 → prime.

  3. Final Answer:

    25 is composite → Option C.

  4. Quick Check:

    25 ÷ 5 = 5 confirms composite (divisors: 1,5,25). ✅
Hint: Spot squares of primes (e.g., 25, 49) - they are composite.
Common Mistakes: Treating square numbers as prime.
3. Which of the following numbers is even and composite?
easy
A. 13
B. 28
C. 17
D. 31

Solution

  1. Step 1: Strategy:

    Even numbers end with 0,2,4,6,8; among evens, check if the number has divisors other than 1 and itself (i.e., not 2).

  2. Step 2: Tests:

    13 → odd prime. 28 → ends with 8 (even); 28 = 4 × 7 (has divisors other than 1 and itself) → composite. 17, 31 → odd primes.

  3. Final Answer:

    28 is even and composite → Option B.

  4. Quick Check:

    28 ÷ 4 = 7 and last digit 8 confirm even composite. ✅
Hint: All even numbers > 2 are composite unless the number is 2.
Common Mistakes: Forgetting that 2 is the only even prime.
4. Which of the following numbers is neither prime nor composite?
medium
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Solution

  1. Step 1: Definitions:

    Prime: integer > 1 with exactly two positive divisors (1 and itself). Composite: integer > 1 with more than two positive divisors. Numbers ≤ 1 are special cases.

  2. Step 2: Tests:

    1 → has exactly one positive divisor (1) → by standard convention, neither prime nor composite. 2 → prime. 3 → prime. 4 → composite (2 × 2).

  3. Final Answer:

    1 is neither prime nor composite → Option A.

  4. Quick Check:

    Recall standard convention: 1 is classified as neither prime nor composite. ✅
Hint: Remember: 1 is neither; 2 is the only even prime.
Common Mistakes: Misclassifying 1 as prime or composite.
5. Which of the following numbers has exactly three positive divisors?
medium
A. 27
B. 16
C. 15
D. 49

Solution

  1. Step 1: Key fact:

    A number has exactly three positive divisors iff it is the square of a prime (p^2), because divisors are {1, p, p^2}.

  2. Step 2: Tests:

    27 = 3^3 (more than 3 divisors). 16 = 2^4 (divisors: 1,2,4,8,16 → 5 divisors). 15 = 3 × 5 (divisors 1,3,5,15 → 4 divisors). 49 = 7^2 → divisors {1,7,49} → exactly 3 divisors.

  3. Final Answer:

    49 → Option D.

  4. Quick Check:

    49 is 7^2; divisors 1, 7, 49 confirm exactly three divisors. ✅
Hint: Look for prime-square form p^2 to get exactly three divisors.
Common Mistakes: Confusing p^2 with higher prime powers (which have more divisors).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes