0
0

Factors & Multiples (HCF & LCM)

Introduction

Factors மற்றும் multiples என்பது fractions-ஐ எளிமைப்படுத்த, divisibility problems தீர்க்க, மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் நடைபெறும் நிகழ்வுகளை திட்டமிட மிகவும் முக்கியமான கருவிகள் ஆகும். Highest Common Factor (HCF / GCD) மற்றும் Least Common Multiple (LCM) ஆகியவற்றை விரைவாகக் கண்டுபிடிப்பது aptitude tests மற்றும் competitive exams இல் நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும்.

Pattern: Factors & Multiples (HCF & LCM)

Pattern

HCF-ஐ கணக்கிட பொதுவான prime சக்திகளை குறைந்த exponent-களுடன் எடுக்கவும்; LCM-ஐ கணக்கிட அனைத்து prime சக்திகளையும் அதிக exponent-களுடன் எடுக்கவும். வேகமான GCD க்கு Euclid’s algorithm பயன்படுத்தி, product identity மூலம் LCM-ஐ பெறுங்கள்.

  • Factor: n ÷ d ஒரு முழு எண் (integer) ஆக இருந்தால், d என்பது n-ன் factor.
  • Multiple: m = n × k (k ஒரு integer) என்றால், m என்பது n-ன் multiple.
  • Prime factorization: எண்களை primes பெருக்கலாக எழுதுங்கள்:
    a = ∏ p_i^{α_i}, b = ∏ p_i^{β_i} (prime இல்லை என்றால் exponent 0 பயன்படுத்தவும்).
  • HCF/GCD (prime-power formula):
    HCF(a,b) = ∏ p_i^{min(α_i,β_i)}.
  • LCM (prime-power formula):
    LCM(a,b) = ∏ p_i^{max(α_i,β_i)}.
  • Product identity (two numbers):
    HCF(a,b) × LCM(a,b) = |a × b|.
  • Euclidean algorithm (fast GCD):
    gcd(a,b) = gcd(b, a mod b). remainder = 0 ஆகும் வரை மீண்டும் செய்யவும்; கடைசி μη-பூஜ்ய வகுபாட்டாளர் தான் gcd.
  • LCM from GCD:
    LCM(a,b) = |a × b| / GCD(a,b).
  • Extend to many numbers:
    GCD(a,b,c) = GCD(GCD(a,b),c). LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c).

Step-by-Step Example

Question

84 மற்றும் 108 ஆகிய எண்களின் HCF (GCD) மற்றும் LCM ஐ கண்டறியுங்கள்.

Solution

  1. Step 1: Prime factorization:

    84 = 2 × 42 = 22 × 3 × 7 → 84 = 22 × 31 × 71.
    108 = 2 × 54 = 22 × 3 × 27 = 22 × 33 → 108 = 22 × 33.

  2. Step 2: min exponents பயன்படுத்தி HCF கணக்கிடுதல்:

    HCF(84,108) = 2min(2,2) × 3min(1,3) × 7min(1,0) = 22 × 31 × 70 = 4 × 3 × 1 = 12.

  3. Step 3: max exponents பயன்படுத்தி LCM கணக்கிடுதல்:

    LCM(84,108) = 2max(2,2) × 3max(1,3) × 7max(1,0) = 22 × 33 × 71 = 4 × 27 × 7 = 756.

  4. Step 4: Product identity மூலம் சரிபார்ப்பு (Quick Check):

    84 × 108 = 9072. HCF × LCM = 12 × 756 = 9072 → பொருந்துகிறது. ✅

  5. Final Answer:

    HCF(84,108) = 12. LCM(84,108) = 756.

  6. Quick Check:

    756 ÷ 84 = 9 (integer) மற்றும் 756 ÷ 108 = 7 (integer). 12 என்பது 84 மற்றும் 108 இரண்டையும் வகுக்கிறது. Product identity சரியாக உள்ளது. ✅

Quick Variations

1. பெரிய எண்களுக்கு Euclidean algorithm பயன்படுத்துங்கள்: உதா., gcd(108,84) → gcd(84,24) → gcd(24,12) → gcd(12,0) = 12.

2. மூன்று எண்களுக்கு a,b,c: GCD ஐ படிப்படியாக கணக்கிடுங்கள்: GCD(a,b,c)=GCD(GCD(a,b),c) மற்றும் அதேபோல் LCM.

3. எண்கள் co-prime ஆக இருந்தால் (GCD = 1), அப்போது LCM = எண்களின் பெருக்கல்.

Trick to Always Use

  • Step 1 → முதலில் GCD க்கு Euclidean algorithm முயற்சி செய்யுங்கள் (வேகமானது, முழு factorization தேவையில்லை).
  • Step 2 → LCM = |a × b| / GCD(a,b) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி LCM-ஐ விரைவாகக் கணக்கிடுங்கள்.
  • Step 3 → சிறிய எண்களுக்கு prime factorization மற்றும் min/max exponent விதி தெளிவாகவும் நம்பகமாகவும் இருக்கும்.
  • Step 4 → பல எண்களுக்கு அனைத்தையும் ஒரே நேரத்தில் factor செய்யாமல், ஜோடியாக (pairwise) கணக்கிடுங்கள்.

Summary

Summary

  • HCF-ஐ குறைந்த exponent-களுடன் உள்ள prime powers மூலம் அல்லது Euclidean algorithm மூலம் கண்டறியலாம்.
  • LCM-ஐ அதிக exponent-களுடன் உள்ள prime powers மூலம் அல்லது LCM = |a × b| / GCD சூத்திரம் மூலம் கண்டறியலாம்.
  • இரண்டு எண்களுக்கு HCF × LCM = |a × b| என்ற product identity எப்போதும் பொருந்தும்.
  • பல எண்களுக்கு GCD மற்றும் LCM இரண்டையும் படிப்படியாக (iteratively) விரிவுபடுத்தலாம்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டிய உதாரணம்:
84 மற்றும் 108 க்கு, min/max prime exponents சரியான மதிப்புகளை தருகின்றன; அதனால் HCF = 12 மற்றும் LCM = 756, மேலும் 12 × 756 = 9072 = 84 × 108.

Practice

(1/5)
1. Find the HCF (GCD) of 18 and 24.
easy
A. 6
B. 12
C. 3
D. 2

Solution

  1. Step 1: Prime factorize:

    18 = 2 × 3^2; 24 = 2^3 × 3.

  2. Step 2: Take minimum exponents for common primes:

    Common primes: 2 and 3. Min powers → 2^{min(1,3)} × 3^{min(2,1)} = 2^1 × 3^1 = 6.

  3. Final Answer:

    HCF(18,24) = 6 → Option A.

  4. Quick Check:

    6 divides 18 (18 ÷ 6 = 3) and 24 (24 ÷ 6 = 4). No larger common divisor exists. ✅
Hint: Prime-factorize and take min exponents for common primes.
Common Mistakes: Using LCM logic (max exponents) instead of min exponents for HCF.
2. Find the LCM of 9 and 12.
easy
A. 18
B. 36
C. 54
D. 48

Solution

  1. Step 1: Prime factorize:

    9 = 3^2; 12 = 2^2 × 3.

  2. Step 2: Take maximum exponents across primes:

    Primes: 2 and 3. Max powers → 2^{max(0,2)} × 3^{max(2,1)} = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36.

  3. Final Answer:

    LCM(9,12) = 36 → Option B.

  4. Quick Check:

    36 ÷ 9 = 4 and 36 ÷ 12 = 3 → both integers, and 36 is the smallest such number. ✅
Hint: Use prime-factorization and take max exponents for LCM.
Common Mistakes: Multiplying numbers directly without dividing by GCD when applicable.
3. Find the LCM of 6 and 10.
easy
A. 20
B. 12
C. 30
D. 60

Solution

  1. Step 1: Prime factorize:

    6 = 2 × 3; 10 = 2 × 5.

  2. Step 2: Take maximum exponents:

    Primes involved: 2, 3, 5 → 2^{1} × 3^{1} × 5^{1} = 2 × 3 × 5 = 30.

  3. Final Answer:

    LCM(6,10) = 30 → Option C.

  4. Quick Check:

    30 ÷ 6 = 5 and 30 ÷ 10 = 3 → both integers and 30 is smallest such number. ✅
Hint: LCM = product of distinct prime factors raised to their highest powers.
Common Mistakes: Choosing product (60) without reducing by common factors (GCD).
4. Find GCD(270, 192) using the Euclidean algorithm.
medium
A. 12
B. 3
C. 9
D. 6

Solution

  1. Step 1: Apply Euclidean algorithm:

    Compute remainders: 270 ÷ 192 → remainder 78 (270 - 192 = 78).

  2. Step 2: Continue:

    192 ÷ 78 → remainder 36 (192 - 2×78 = 36). 78 ÷ 36 → remainder 6 (78 - 2×36 = 6). 36 ÷ 6 → remainder 0.

  3. Final Answer:

    When remainder becomes 0, last non-zero remainder is GCD → 6 → Option D.

  4. Quick Check:

    6 divides 270 (270 ÷ 6 = 45) and 192 (192 ÷ 6 = 32). ✅
Hint: Use repeated remainder steps: gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) until remainder 0.
Common Mistakes: Stopping too early or making arithmetic error in remainder steps.
5. Find the LCM of 8, 12 and 20.
medium
A. 120
B. 60
C. 240
D. 40

Solution

  1. Step 1: Prime factorize:

    8 = 2^3; 12 = 2^2 × 3; 20 = 2^2 × 5.

  2. Step 2: Take maximum exponents for each prime:

    Primes: 2, 3, 5 → 2^{max(3,2,2)} × 3^{max(0,1,0)} × 5^{max(0,0,1)} = 2^3 × 3^1 × 5^1 = 8 × 3 × 5 = 120.

  3. Final Answer:

    LCM(8,12,20) = 120 → Option A.

  4. Quick Check:

    120 ÷ 8 = 15, 120 ÷ 12 = 10, 120 ÷ 20 = 6 → all integers and 120 is the least such number. ✅
Hint: For multiple numbers, take max prime exponents across all numbers.
Common Mistakes: Computing pairwise LCM incorrectly or missing a prime factor (like 5 here).

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes