0
0

Divisibility Rules

Introduction

Divisibility Rules மூலம், ஒரு எண் மற்றொரு எண்ணால் long division செய்யாமல் வகுபடுகிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கலாம். குறிப்பாக பெரிய எண்களை கையாளும் போது, aptitude problems-ஐ விரைவாக தீர்க்க இவை சக்திவாய்ந்த shortcuts ஆகும்.

Pattern: Divisibility Rules

Pattern

Divisibility rules என்பது (digits அல்லது digit sums அடிப்படையில்) ஒரு எண் மற்றொரு எண்ணால் வகுபடுகிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்கும் எளிய சோதனைகள்.

  • By 2: கடைசி digit 0, 2, 4, 6, 8 (even) ஆக இருந்தால்.
  • By 3: digits-ன் கூட்டுத்தொகை 3-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
  • By 4: கடைசி இரண்டு digits 4-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
  • By 5: கடைசி digit 0 அல்லது 5 ஆக இருக்க வேண்டும்.
  • By 6: அந்த எண் 2 மற்றும் 3 இரண்டாலும் வகுபட வேண்டும்.
  • By 8: கடைசி மூன்று digits 8-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
  • By 9: digits-ன் கூட்டுத்தொகை 9-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
  • By 10: கடைசி digit 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.
  • By 11: (odd places-ல் உள்ள digits-ன் கூட்டுத்தொகை - even places-ல் உள்ள digits-ன் கூட்டுத்தொகை) 11-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
  • By 12: அந்த எண் 3 மற்றும் 4 இரண்டாலும் வகுபட வேண்டும்.

Step-by-Step Example

Question

4,356 என்பது 3, 4, மற்றும் 11-ஆல் வகுபடுகிறதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

Solution

  1. Step 1: 3-ஆல் வகுபடுமா:

    Rule: digits-ன் கூட்டுத்தொகை 3-ஆல் வகுபட்டால், அந்த எண் 3-ஆல் வகுபடும். Sum = 4 + 3 + 5 + 6 = 18 → 18 என்பது 3-ஆல் வகுபடும். ✅ ஆகவே, 4356 என்பது 3-ஆல் வகுபடும்.

  2. Step 2: 4-ஆல் வகுபடுமா:

    Rule: கடைசி இரண்டு digits 4-ஆல் வகுபட்டால், அந்த எண் 4-ஆல் வகுபடும். Last two digits = 56 → 56 ÷ 4 = 14 (exact). ✅ ஆகவே, 4356 என்பது 4-ஆல் வகுபடும்.

  3. Step 3: 11-ஆல் வகுபடுமா:

    Rule: odd places மற்றும் even places-ல் உள்ள digits-ன் கூட்டுத்தொகைகளின் வித்தியாசம் 11-ஆல் வகுபட்டால், அந்த எண் 11-ஆல் வகுபடும். Odd place digits (left-இலிருந்து): 4 + 5 = 9 Even place digits: 3 + 6 = 9 Difference = 9 - 9 = 0 → 11-ஆல் வகுபடும். ✅ ஆகவே, 4356 என்பது 11-ஆல் வகுபடும்.

  4. Final Answer:

    4356 என்பது 3, 4, மற்றும் 11-ஆல் வகுபடும்.

  5. Quick Check:

    4356 ÷ 3 = 1452, 4356 ÷ 4 = 1089, 4356 ÷ 11 = 396 → அனைத்தும் exact. ✅

Quick Variations

1. 7-ஆல் வகுபடுமா → கடைசி digit-ஐ இரட்டிப்பாக்கி, மீதமுள்ள எண்ணிலிருந்து கழிக்கவும். கிடைக்கும் மதிப்பு 7-ஆல் வகுபட வேண்டும்.

2. 13-ஆல் வகுபடுமா → patterns அடிப்படையிலான repeated subtraction/addition rules.

3. Combined divisibility tests (எ.கா., 15 → 3 மற்றும் 5 இரண்டையும் சரிபார்க்கவும்).

Trick to Always Use

  • Step 1: 3 மற்றும் 9-க்கு digit sum rules பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 2: 4 மற்றும் 8-க்கு last two/three digits rules பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 3: 11-க்கு alternating digit sum பயன்படுத்துங்கள்.
  • Step 4: Combined divisibility (எ.கா., 6, 12, 15) என்றால் பல rules-ஐ ஒன்றாகச் சரிபார்க்கவும்.

Summary

Summary

Divisibility Rules pattern-ல்:

  • Digit sum rules 3, 9, மற்றும் 11-க்கு பொருந்தும்.
  • Last digit(s) rules 2, 4, 5, 8, 10-க்கு பயன்படும்.
  • Combined divisibility 6, 12, 15 போன்ற எண்களுக்கு பொருந்தும்.
  • 7, 13, 17 போன்றவற்றிற்கு special rules உள்ளன; ஆனால் exams-ல் அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படும்.

Practice

(1/5)
1. Check if 248 is divisible by 2, 4, and 8.
easy
A. Yes, by all three
B. Only by 2
C. By 2 and 4 only
D. Not divisible by any

Solution

  1. Step 1: Divisibility by 2:

    Rule: Last digit even → 8 is even → divisible by 2.

  2. Step 2: Divisibility by 4:

    Rule: Last two digits divisible by 4 → 48 ÷ 4 = 12 → divisible by 4.

  3. Step 3: Divisibility by 8:

    Rule: Last three digits divisible by 8 → 248 ÷ 8 = 31 → divisible by 8.

  4. Final Answer:

    248 is divisible by 2, 4, and 8 → Option A.

  5. Quick Check:

    248 ÷ 2 = 124, 248 ÷ 4 = 62, 248 ÷ 8 = 31 ✅
Hint: Check last digit for 2, last two digits for 4, last three digits for 8.
Common Mistakes: Stopping after checking divisibility by 2 and not testing 4 or 8.
2. Which of the following is divisible by 9?
easy
A. 135
B. 224
C. 472
D. 811

Solution

  1. Step 1: Rule for 9:

    If sum of digits is divisible by 9, the number is divisible by 9.

  2. Step 2: Compute sums:

    135 → 1+3+5 = 9 (divisible by 9). 224 → 2+2+4 = 8 (not). 472 → 4+7+2 = 13 (not). 811 → 8+1+1 = 10 (not).

  3. Final Answer:

    Only 135 is divisible by 9 → Option A.

  4. Quick Check:

    135 ÷ 9 = 15 ✅
Hint: Use digit-sum test for 9 instead of long division.
Common Mistakes: Trying to divide each number instead of applying the digit-sum rule.
3. Which number is divisible by both 2 and 5?
easy
A. 125
B. 260
C. 473
D. 589

Solution

  1. Step 1: Rule for 10:

    Number divisible by both 2 and 5 must end with 0.

  2. Step 2: Check options:

    125 ends with 5 (no). 260 ends with 0 (yes). 473 ends with 3 (no). 589 ends with 9 (no).

  3. Final Answer:

    260 is divisible by 10 → Option B.

  4. Quick Check:

    260 ÷ 10 = 26 ✅
Hint: For divisibility by 10, check if the last digit is 0.
Common Mistakes: Confusing divisibility by 5 (ends with 0 or 5) with divisibility by 10 (must end with 0).
4. What is the remainder when 3,652 is divided by 11?
medium
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3

Solution

  1. Step 1: Rule for 11:

    Compute (sum of digits in odd positions) - (sum of digits in even positions). If result is divisible by 11 (including 0), remainder is 0.

  2. Step 2: Apply to 3652:

    Digits (from left): 3, 6, 5, 2. Sum odd positions = 3 + 5 = 8. Sum even positions = 6 + 2 = 8. Difference = 8 - 8 = 0.

  3. Final Answer:

    Difference 0 → 3652 is divisible by 11 → remainder = 0 → Option C.

  4. Quick Check:

    3652 ÷ 11 = 332 with remainder 0 ✅
Hint: Use alternating digit-sum difference to test divisibility by 11 quickly.
Common Mistakes: Applying the rule incorrectly by using wrong digit positions or order.
5. Which of the following numbers is divisible by both 3 and 4 (i.e., by 12)?
medium
A. 125
B. 140
C. 148
D. 144

Solution

  1. Step 1: Rule for 12:

    Number must be divisible by both 3 and 4.

  2. Step 2: Check options:

    125 → digit sum 1+2+5 = 8 (not divisible by 3) → not divisible by 12. 140 → digit sum 1+4+0 = 5 (not divisible by 3) → not divisible. 148 → digit sum 1+4+8 = 13 (not divisible by 3) → not divisible. 144 → digit sum 1+4+4 = 9 (divisible by 3) and last two digits 44 ÷ 4 = 11 (divisible by 4) → divisible by 12.

  3. Final Answer:

    144 is divisible by 12 → Option D.

  4. Quick Check:

    144 ÷ 12 = 12 ✅
Hint: For 12, verify both 3 (digit sum) and 4 (last two digits) rules.
Common Mistakes: Checking only 3 or only 4 instead of both conditions for 12.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes