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Relative Movement Problems

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Introduction

Relative Movement Problems उन समस्याओं में आते हैं जहाँ दो या अधिक लोग/वस्तुएँ एक साथ या क्रमिक रूप से अलग-अलग दिशाओं में चलती हैं। लक्ष्य यह होता है कि उनके आपसी स्थान, दिशाएँ, उनके बीच की दूरी या यह कि कौन किसके बाएँ/दाएँ है - यह निर्धारित किया जाए। ऐसे प्रश्न reasoning टेस्टों में अक्सर मिलते हैं और इनके लिए सावधानीपूर्वक vector-सोचना और relative-frame reasoning की आवश्यकता होती है।

यह पैटर्न महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आपको विभिन्न पथों की तुलना करना, विपरीत चालों को cancel करना और अलग-अलग reference points से स्थान का अनुमान लगाने की ट्रेनिंग देता है - जो spatial intuition और परीक्षा प्रदर्शन में मदद करता है।

Pattern: Relative Movement Problems

Pattern: Relative Movement Problems

मुख्य विचार: प्रत्येक व्यक्ति के पथ को एक vector (horizontal और vertical components) मानें। एक सामान्य origin के सन्दर्भ में उनकी अंतिम coordinates निकालें, फिर relative-position प्रश्नों (जैसे कौन किसके उत्तर/पूर्व में है, दूरी, या facing सम्बन्ध) के उत्तर के लिए coordinates की तुलना करें।

Quick rules:

  • एक सुविधाजनक origin चुनें (अक्सर किसी एक व्यक्ति की शुरुआती स्थिति) और सुसंगत अक्षों का उपयोग करें: North = +y, South = -y, East = +x, West = -x.
  • प्रत्येक चाल को x/y परिवर्तनों में अनुवादित करें और final coordinates पाने के लिए उन्हें जोड़ें।
  • जोड़े-दर-जोड़े तुलना करें: x बड़ा → अधिक East; y बड़ा → अधिक North।
  • दो बिंदुओं के बीच दूरी = √((Δx)² + (Δy)²)।
  • relative-facing प्रश्नों के लिए, orientation को positions से अलग track करें; turns केवल facing बदलते हैं, coordinates नहीं।

Step-by-Step Example

Question

कैसे हल करें: दो दोस्त A और B एक ही बिंदु से शुरू करते हैं। A 4 m North चलता है और फिर 6 m East चलता है। B 3 m East चलता है और फिर 5 m North चलता है। इन चालों के बाद कौन अधिक East में है और उनके बीच की दूरी कितनी है?

Solution

  1. Step 1: Origin और axes चुनें

    सामान्य शुरुआत बिंदु को (0,0) मानें। x = East (+), y = North (+) का उपयोग करें।

  2. Step 2: A की चालों को coordinates में बदलें

    A: 4 m North → (0, +4). फिर 6 m East → (0+6, 4) = (6, 4).

  3. Step 3: B की चालों को coordinates में बदलें

    B: 3 m East → (3, 0). फिर 5 m North → (3, 5) = (3, 5).

  4. Step 4: East (x) coordinates की तुलना

    A का x = 6, B का x = 3 → A अधिक East में है.

  5. Step 5: A और B के बीच दूरी

    Δx = 6 - 3 = 3; Δy = 4 - 5 = -1. दूरी = √(3² + (-1)²) = √(9 + 1) = √10 ≈ 3.16 m.

  6. Final Answer:

    A अधिक East में है, और उनके बीच की दूरी है √10 ≈ 3.16 m.

  7. Quick Check:

    coordinates का दृश्य तुलना करें: A(6,4) B(3,5) - A, B से 3 यूनिट दाँए और 1 यूनिट नीचे है → डाइगोनल दूरी √10 ✅

Quick Variations

1. अलग-अलग starting points पर एक साथ movement - दोनों को global coordinates में ट्रांसलेट करें।

2. “कौन किसका सामना कर रहा है” जैसे प्रश्न - पहले final positions निकालें और फिर relative bearings के आधार पर समझें।

3. कुछ समस्याओं में return paths या loops होते हैं; हर चरण को क्रमशः लें और vectors जोड़ें।

4. समय-अनुक्रमित चालें (A पहले चलता है, फिर B) - तुलना के लिए संबंधित समय पर positions की गणना करें।

5. turns/rotations को जोड़ें - position (vector) और facing (orientation) को अलग-अलग ट्रैक करें।

Trick to Always Use

  • Step 1: एक origin और axis कन्वेंशन तय कर लें (x = East, y = North)।
  • Step 2: हर चाल को तुरंत (Δx, Δy) में बदलें और क्रमशः जोड़ें।
  • Step 3: तुलना के लिए x और y का उपयोग करें; दूरी के लिए Pythagoras का फॉर्मूला लगाएँ।
  • Step 4: एक छोटा स्केच बनाएं - इससे sign-errors जल्दी पकड़ में आते हैं।

Summary

Relative Movement Problems के लिए:

  • हमेशा चालों को coordinate परिवर्तनों में बदलें।
  • प्रत्येक व्यक्ति/वस्तु की अंतिम स्थिति अलग-अलग निकालें।
  • Relative-location प्रश्नों के उत्तर के लिए coordinates की तुलना करें; दूरी के लिए √(Δx²+Δy²) प्रयोग करें।
  • Turns होने पर position और facing को अलग रखें।
  • त्वरित diagram + axis कन्वेंशन sign-गलतियों से बचाता है और हल तेज़ बनाता है।

Practice

(1/5)
1. A and B start from the same point. A walks 6 m North and 8 m East. B walks 8 m North and 6 m East. Where is A with respect to B?
easy
A. √8 m South-East
B. √8 m North-West
C. √8 m South-West
D. √8 m North-East

Solution

  1. Step 1: Represent positions on a coordinate plane

    A = (8, 6); B = (6, 8).

  2. Step 2: Compute relative vector (A from B)

    Δx = 8 - 6 = +2 (East), Δy = 6 - 8 = -2 (South).

  3. Step 3: Interpret signs

    (+x, -y) → South-East direction.

  4. Step 4: Distance

    Distance = √(2² + (-2)²) = √8 ≈ 2.83 m.

  5. Final Answer:

    √8 m South-East → Option A

  6. Quick Check:

    A is 2 m east and 2 m south of B → √(2² + 2²) = √8 ✅
Hint: Subtract B’s coordinates from A’s to find direction; use √(Δx² + Δy²) for exact distance.
Common Mistakes: Labeling as '2 m' instead of √8 m, or reversing A-B reference.
2. P and Q start from the same point. P walks 10 m North and 5 m East, while Q walks 10 m East and 5 m North. What is the direction of Q from P?
easy
A. North-East
B. South-West
C. South-East
D. North-West

Solution

  1. Step 1: Represent coordinates

    P = (5, 10), Q = (10, 5).

  2. Step 2: Find relative difference

    Q - P = (10 - 5, 5 - 10) = (5, -5).

  3. Step 3: Interpret signs

    +x = East, -y = South → South-East direction.

  4. Step 4: Distance

    Distance = √(5² + 5²) = √50 ≈ 7.07 m.

    5. Final Answer:

    South-East → Option C
Hint: Positive x and negative y = South-East.
Common Mistakes: Mixing up ‘Q from P’ vs ‘P from Q’.
3. Two friends A and B start from the same point. A walks 4 m North and 3 m East. B walks 4 m East and 3 m North. How far apart are they?
easy
A. 2 m
B. √2 m
C. 1 m
D. √5 m

Solution

  1. Step 1: Determine coordinates

    A = (3, 4); B = (4, 3).

  2. Step 2: Calculate displacement

    Δ = (4 - 3, 3 - 4) = (1, -1).

  3. Step 3: Distance

    Distance = √(1² + (-1)²) = √2 ≈ 1.41 m.

    4. Final Answer:

    √2 m → Option B
Hint: Equal legs swapped → always √2 apart.
Common Mistakes: Adding coordinates instead of subtracting.
4. R and S start from different points. R walks 6 m East, then 8 m North. S starts 4 m North of R’s starting point and walks 8 m East. What is S’s position relative to R?
medium
A. 2 m East and 4 m South
B. 2 m North-West
C. 2 m North-East
D. 2 m South-West

Solution

  1. Step 1: Set coordinates (R’s start = origin)

    R final = (6, 8). S starts at (0, 4) and walks 8 m East → S final = (8, 4).

  2. Step 2: Relative vector (S from R)

    Δ = S - R = (8 - 6, 4 - 8) = (2, -4).

  3. Step 3: Interpret components

    Δx = +2 → 2 m East; Δy = -4 → 4 m South.

  4. Step 4: Distance

    Distance = √(2² + 4²) = √20 ≈ 4.47 m.

    5. Final Answer:

    2 m East and 4 m South → Option A
Hint: Visualize both on a coordinate grid before comparing.
Common Mistakes: Mixing R from S vs S from R relation.
5. Two cyclists start from the same point. One rides 10 km North and the other 10 km East. What is the distance between them?
medium
A. 20√2 km
B. 14 km
C. 12 km
D. 10√2 km

Solution

  1. Step 1: Identify perpendicular displacements

    One cyclist at (0,10), the other at (10,0) → right-angled triangle.

  2. Step 2: Apply Pythagoras theorem

    Distance = √(10² + 10²) = √200 = 10√2 km.

  3. Step 3: Approximation

    10√2 ≈ 14.14 km.

    4. Final Answer:

    10√2 km → Option D
Hint: Equal perpendicular distances → multiply by √2.
Common Mistakes: Adding instead of using the diagonal formula.