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Distance Between Two Points

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Introduction

Distance Between Two Points पैटर्न यह सिखाता है कि दो स्थितियों के बीच की सीधी रेखा दूरी (displacement) कैसे निकाली जाती है जब उनके उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम चालों या निर्देशांक दिए हों। यह aptitude प्रश्नों में मौलिक है क्योंकि कई मार्ग और विस्थापन समस्याएँ सीधे सबसे छोटा (straight-line) रास्ता खोजने पर टिकी होती हैं।

इस पैटर्न में महारत से आप नक्शा, नेविगेशन और route-tracing प्रश्नों को coordinate सोच और Pythagoras के उपयोग से तेज़ी से हल कर सकेंगे।

Pattern: Distance Between Two Points

Pattern: Distance Between Two Points

मुख्य अवधारणा: हर चाल को परस्पर लम्बवत अक्षों पर coordinate बदलाव के रूप में मानें। सीधी रेखा दूरी = √(Δx² + Δy²), जहाँ Δx और Δy क्रमशः नेट पूर्व-पश्चिम और नेट उत्तर-दक्षिण विस्थापन हैं।

उपयोग के कदम:

  1. चालों को signed coordinates में बदलें (पूर्व/उत्तर को +, पश्चिम/दक्षिण को - या कोई भी सुसंगत sign convention चुनें)।
  2. कम्पोनेंट्स को अलग-अलग जोड़कर नेट Δx (पूर्व-पश्चिम) और नेट Δy (उत्तर-दक्षिण) निकालें।
  3. Pythagoras लगाएँ: distance = √(Δx² + Δy²)।
  4. परिमाण के साथ-साथ दिशा (क्वाड्रंट) भी बताएं - इसके लिए Δx और Δy के चिह्नों का उपयोग करें।

Step-by-Step Example

Question

कोई व्यक्ति बिंदु O से शुरू करता है, 6 km उत्तर चलता है, फिर 8 km पूर्व चलता है। O से उसकी सीधी रेखा दूरी कितनी और किस दिशा में है?

Solution

  1. Step 1: coordinate परिवर्तन पहचानें

    O को (0,0) मानते हुए: 6 km उत्तर → Δy = +6; फिर 8 km पूर्व → Δx = +8।

  2. Step 2: नेट विस्थापन निकालें

    नेट Δx = +8 (पूर्व), नेट Δy = +6 (उत्तर)।

  3. Step 3: Pythagoras लागू करें

    Distance = √(Δx² + Δy²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 km.

  4. Step 4: दिशा निर्धारित करें

    Δx > 0 और Δy > 0 → पहला क्वाड्रंट → दिशा = उत्तर-पूर्व (North-East) (विशेष रूप से arctan(6/8) = 36.87° उत्तर की ओर पूर्व से)।

  5. Final Answer:

    10 km North-East

  6. Quick Check:

    यह एक 6-8-10 त्रिभुज है (3-4-5 का 2×) → दूरी = 10 km ✅

Quick Variations

1. चालों में वापसी शामिल हो सकती है (उदा., पहले उत्तर फिर दक्षिण) - पहले opposing components को cancel करें।

2. सीधे coordinates दें: बिंदु (x₁,y₁) और (x₂,y₂) पर distance = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)।

3. मिश्रित इकाइयाँ या दिशाएँ (km/m) - गणना से पहले इकाइयाँ समान कर लें।

4. कोण पूछा जाए: दिशा के लिए θ = arctan(|Δy/Δx|) उपयोग करें और क्वाड्रंट Δx, Δy के चिह्न से तय करें।

Trick to Always Use

  • Step 1: हमेशा नेट Δx और Δy साइन के साथ लिखें (पूर्व = +, पश्चिम = -)।
  • Step 2: Opposite चालों को पहले cancel करें फिर फ़ॉर्मूला लागू करें।
  • Step 3: ज्ञात Pythagorean triple (3-4-5, 5-12-13 आदि) ढूँढकर तेज़ी से निकालें।
  • Step 4: दिशा के लिए θ = arctan(|Δy/Δx|) लें और Δx, Δy के चिह्न से क्वाड्रंट निर्धारित करें।

Summary

  • पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण चालों को परस्पर लम्बवत घटकों की तरह मानें।
  • नेट विस्थापन हमेशा √(Δx² + Δy²) से निकालें।
  • किसी भी तरह के opposite निर्देशों को पहले cancel कर लें।
  • कोन के लिए direction ratios या tan का उपयोग करें जब आवश्यक हो।

याद रखने के लिए उदाहरण:
6 km उत्तर और 8 km पूर्व → Distance = 10 km North-East.

Practice

(1/5)
1. A person walks 3 km North and then 4 km East. What is his straight-line distance from the starting point and in which direction?
easy
A. 5 km North-East
B. 1 km East
C. 7 km North-East
D. √13 km North-East

Solution

  1. Step 1: Record component displacements

    North (Δy) = 3 km; East (Δx) = 4 km.

  2. Step 2: Apply distance formula

    Distance = √(Δx² + Δy²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 km.

  3. Step 3: Determine direction

    Δx > 0 and Δy > 0 → first quadrant → North-East.

  4. Final Answer:

    5 km North-East → Option A

  5. Quick Check:

    Recognise 3-4-5 Pythagorean triple → distance 5 km ✅
Hint: Look for 3-4-5 or other Pythagorean triples to get the distance quickly.
Common Mistakes: Adding component distances instead of using √(Δx²+Δy²).
2. From a point O a person walks 6 km North and then 8 km East. How far is he from O and what is the direction?
easy
A. 12 km North-East
B. 10 km North-East
C. 14 km East
D. √20 km North-East

Solution

  1. Step 1: Note component displacements

    Δy = 6 km (North), Δx = 8 km (East).

  2. Step 2: Compute squared components

    Δx² = 8² = 64; Δy² = 6² = 36.

  3. Step 3: Sum and root

    Distance = √(64 + 36) = √100 = 10 km.

  4. Step 4: Direction

    Both components positive → North-East.

  5. Final Answer:

    10 km North-East → Option B

  6. Quick Check:

    6-8-10 is a scaled 3-4-5 triple → 10 km ✅
Hint: Multiply or recognise common triples (3-4-5 scaled) to avoid heavy arithmetic.
Common Mistakes: Swapping Δx and Δy when stating direction (say East-North instead of North-East).
3. A person goes 8 m West, then 15 m South, then 8 m East. How far and in which direction is he from his starting point?
easy
A. 15 m South
B. 23 m South-West
C. √(8²+15²) m South-East
D. 7 m South

Solution

  1. Step 1: Compute net components

    Horizontal: West 8 + East 8 → they cancel → Δx = 0. Vertical: South 15 → Δy = -15 (South).

  2. Step 2: Distance

    Distance = √(Δx² + Δy²) = √(0² + (-15)²) = √225 = 15 m.

  3. Step 3: Direction

    Δx = 0, Δy < 0 → directly South.

  4. Final Answer:

    15 m South → Option A

  5. Quick Check:

    Horizontal cancel → only 15 m South remains ✅
Hint: Cancel equal opposite horizontal/vertical moves first to simplify result.
Common Mistakes: Using diagonal formula when one component is zero.
4. A runner goes 7 m South and then 24 m East. What is his straight-line distance from the start and which quadrant is he in?
medium
A. 25 m South-West
B. 31 m South-East
C. 25 m South-East
D. 17 m South-East

Solution

  1. Step 1: Components

    Δy = -7 m (South taken negative), Δx = +24 m (East positive).

  2. Step 2: Squares

    Δx² = 24² = 576. Δy² = 7² = 49.

  3. Step 3: Distance

    Distance = √(576 + 49) = √625 = 25 m.

  4. Step 4: Direction/quadrant

    Δx > 0 and Δy < 0 → East and South → South-East quadrant.

  5. Final Answer:

    25 m South-East → Option C

  6. Quick Check:

    7-24-25 is a Pythagorean triple → 25 m ✅
Hint: Watch signs: positive Δx, negative Δy → South-East quadrant.
Common Mistakes: Reporting South-West instead of South-East by ignoring sign of Δx.
5. Starting at P, a person walks 9 km East and then 40 km North. What is his straight-line distance from P?
medium
A. 41 km South-East
B. 31 km North-East
C. 41 km North-West
D. 41 km North-East

Solution

  1. Step 1: Record components

    Δx = +9 km (East), Δy = +40 km (North).

  2. Step 2: Square components

    Δx² = 9² = 81. Δy² = 40² = 1600.

  3. Step 3: Distance

    Distance = √(81 + 1600) = √1681 = 41 km.

  4. Step 4: Direction

    Both positive → North-East.

  5. Final Answer:

    41 km North-East → Option D

  6. Quick Check:

    9-40-41 is a Pythagorean triple → 41 km ✅
Hint: Memorise 9-40-41 and other larger triples to spot distances fast.
Common Mistakes: Forgetting to square before adding or mixing up signs for direction.