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Complex Map or Route Puzzle

Introduction

Complex Map or Route Puzzles कई-सीढ़ियों वाली यात्राओं को शामिल करते हैं - अक्सर अलग-अलग चरण, bearings, दूरी, और बीच-बीच के स्टॉप के साथ। ये प्रश्न आपकी क्षमता को परखते हैं कि आप displacement, direction sense, vector addition और map-visualization को मिलाकर अंतिम स्थान, bearing, या स्थानों के बीच की दूरी कैसे निकालते हैं।

यह पैटर्न महत्वपूर्ण है क्योंकि कई प्रतियोगी परीक्षाएँ (जैसे SSC, CAT, railway exams) multi-leg route प्रश्न शामिल करती हैं जो सहज बुद्धि से नहीं बल्कि विधिवत tracing से हल होते हैं।

Pattern: Complex Map or Route Puzzle

Pattern

मुख्य विचार: पूरे route को क्रमागत vector components (Δx, Δy) में विभाजित करें (एक सुसंगत coordinate system का उपयोग करते हुए), components को जोड़ें, फिर signs और Pythagoras का उपयोग करके displacement/bearing निकालें।

व्यवहारिक नियम

  • एक स्थिर origin और axis चुनें: East = +x, North = +y. हर leg को (Δx, Δy) के रूप में चिन्हित करें।
  • यदि bearing दी हुई है जैसे N60°E, तो components में बदलें: Δx = d·sin(θ), Δy = d·cos(θ) (यहाँ θ को North से East की ओर मापा गया है)।
  • सभी x-components और y-components को अलग-अलग जोड़ें ताकि कुल (ΣΔx, ΣΔy) मिलें।
  • सीधी रेखा दूरी = √(ΣΔx² + ΣΔy²). दिशा (bearing) तय करने के लिए quadrant देखें → कोण निकालने हेतु arctan(|ΣΔx/ΣΔy|) का उपयोग करें।
  • यदि मानचित्र में returns या loops हों, तो भारी गणना से पहले विरोधी components को रद्द (cancel) कर दें।

Step-by-Step Example

Question

City A से एक यात्री B तक 10 km North चलता है, फिर C तक 6 km पर bearing N60°E, फिर D तक 8 km East, और अन्त में E तक 12 km पर bearing S30°E चलता है। A से E की सीधी-रेखा दूरी और bearing क्या होगी?

Solution

  1. Step 1: शुरुआत कैसे करें:

    A को origin (0,0) मानें। अक्ष परिभाषा: East = +x, North = +y। हर leg को (Δx,Δy) में बदलें।

  2. Step 2: Leg AB (10 km North)

    Δx₁ = 0, Δy₁ = +10 → स्थिति B = (0, 10).

  3. Step 3: Leg BC (6 km, bearing N60°E)

    N60°E का अर्थ है North से 60° East की ओर। Components: Δx₂ = 6·sin(60°) = 6 × (√3/2) = 3√3 ≈ 5.196; Δy₂ = 6·cos(60°) = 6 × (1/2) = 3. स्थिति C = B + (Δx₂, Δy₂) = (0 + 3√3, 10 + 3) ≈ (5.196, 13).

  4. Step 4: Leg CD (8 km East)

    Δx₃ = +8, Δy₃ = 0. स्थिति D = C + (8,0) ≈ (5.196 + 8, 13) = (13.196, 13).

  5. Step 5: Leg DE (12 km, bearing S30°E)

    S30°E = South से 30° East की ओर। यह South (-y) और East (+x) दोनों में घटक देता है। Δx₄ = 12·sin(30°) = 12 × 0.5 = 6. Δy₄ = -12·cos(30°) = -12 × (√3/2) = -6√3 ≈ -10.392. स्थिति E = D + (6, -6√3) ≈ (13.196 + 6, 13 - 10.392) = (19.196, 2.608).

  6. Step 6: कुल displacement from A

    ΣΔx = 19.196, ΣΔy = 2.608.
    दूरी AE = √(19.196² + 2.608²) ≈ √(368.48 + 6.80) ≈ √375.28 ≈ 19.37 km.

  7. Step 7: A से E का bearing निकालें

    चूँकि Σx > 0 और Σy > 0 → quadrant = North-East.
    North की ओर से East की ओर का कोण = arctan(Σx / Σy) = arctan(19.196 / 2.608) ≈ arctan(7.36) ≈ 82.3°.
    अतः bearing ≈ N82.3°E (या लगभग 7.7° East of North).

  8. Final Answer:

    Distance ≈ 19.37 km, Bearing ≈ N82.3°E

  9. Quick Check:

    मुख्य displacement East दिशा में है (बड़ा x), y थोड़ा सकारात्मक है → दूरी ≈ 19.4 और NE quadrant में बड़ा कोण - सुसंगत। ✅

Quick Variations

1. सटीक bearings को cardinal-turn steps (उदा., right 45°) से बदलें - component गणना से पहले turns को bearing में बदलें।

2. loops शामिल हों जहाँ कोई leg पहले वाले मार्ग का हिस्सा retrace करे - components को cancel कर गणना सरल करें।

3. time-parametric routes (कौन किससे मिलता है) - parametric समीकरण बनाकर समकालिक स्थितियाँ हल करें।

4. शहर की grid में blocks हों - जब Manhattan distance माँगी जाए तब Manhattan का उपयोग करें, लेकिन सीधी-रेखा उत्तर के लिए vector पद्धति का उपयोग करें।

Trick to Always Use

  • Step 1: हर leg को तुरंत (Δx, Δy) में बदलें - एक running sum रखें।
  • Step 2: कैलकुलेशन से पहले विरोधी components को जल्दी से cancel कर दें।
  • Step 3: Bearing के लिए, arctan(|Σx/Σy|) निकालें और Σx, Σy के चिन्हों से quadrant तय करें (NE/NW/SE/SW)।

Summary

Summary

  • रूट trace करने से पहले हमेशा origin और axes तय करें (East = +x, North = +y)।
  • Bearings को components में बदलें: जब कोण North से मापा गया हो तो पूर्व/पश्चिम घटक के लिए sin और उत्तर/दक्षिण घटक के लिए cos का उपयोग करें (या East से मापने पर उल्टा)।
  • कुल coordinates पाने के लिये components जोड़ें; दूरी के लिये Pythagoras और bearing के लिये arctan का प्रयोग करें।
  • विरोधी displacements को पहले रद्द करें और तुलना से पहले squared distances का उपयोग करें ताकि square roots टाल सकें।

याद रखने के लिए उदाहरण:
हर leg को Δx,Δy में तोड़ें → जोड़ें → दूरी = √(ΣΔx² + ΣΔy²) → bearing के लिए signs & arctan इस्तेमाल करें।

Practice

(1/5)
1. A person travels 8 km North, then 6 km East, and finally 10 km South. What is his final displacement from the starting point (approximate)?
easy
A. 6.3 km South-East
B. 4 km South-East
C. 5.4 km South-West
D. 2 km South-East

Solution

  1. Step 1: Represent each leg as coordinates

    North = +y, East = +x, South = -y.
    Total Δx = +6, Total Δy = (8 - 10) = -2.

  2. Step 2: Compute displacement

    √(6² + (-2)²) = √(36 + 4) = √40 ≈ 6.32 km.

  3. Step 3: Determine direction

    Positive x (East), Negative y (South) → South-East.

  4. Final Answer:

    6.3 km South-East → Option A

  5. Quick Check:

    East + South → SE; larger east component ✅
Hint: Subtract vertical components and use Pythagoras for final displacement.
Common Mistakes: Adding distances instead of vector subtraction for opposite directions.
2. A person goes 5 km East, then 12 km North, then 5 km West. How far is he from the starting point?
easy
A. 5 km
B. 10 km
C. 13 km
D. 12 km

Solution

  1. Step 1: Compute net movement

    East 5 - West 5 = 0 (cancelled); only 12 km North remains.

  2. Step 2: Displacement

    √(0² + 12²) = 12 km.

  3. Step 3: Check options

    12 km corresponds to the straight-line path.

  4. Final Answer:

    12 km → Option D

  5. Quick Check:

    Horizontal cancelled, only 12 km North ✅
Hint: Cancel exact opposite directions before calculating distance.
Common Mistakes: Forgetting that East-West cancel out completely.
3. A car moves 10 km North, 6 km East, 8 km South, and 6 km West. What is its final position relative to the start?
easy
A. 2 km North
B. 4 km North
C. 2 km South
D. At the same point

Solution

  1. Step 1: Combine vertical

    North 10 - South 8 = 2 km North.

  2. Step 2: Combine horizontal

    East 6 - West 6 = 0.

  3. Step 3: Final position

    2 km North, same longitude.

  4. Final Answer:

    2 km North → Option A

  5. Quick Check:

    Horizontal cancels completely ✅
Hint: Subtract opposite directions before computing displacement.
Common Mistakes: Forgetting to check both axes separately.
4. Ravi travels 6 km North, then 8 km at bearing N45°E. Find his final displacement from the start (approx).
medium
A. 13.0 km
B. 12.5 km
C. 10 km
D. 9.8 km

Solution

  1. Step 1: Break second leg into components

    For N45°E both components are equal: Δx₂ = 8·sin45° = 8/√2 ≈ 5.6569, Δy₂ = 8·cos45° = 8/√2 ≈ 5.6569.

  2. Step 2: Sum totals

    Σx = 0 + 5.6569 = 5.6569; Σy = 6 + 5.6569 = 11.6569.

  3. Step 3: Displacement

    Distance = √(Σx² + Σy²) = √(5.6569² + 11.6569²) ≈ √(32.00 + 135.96) ≈ √167.96 ≈ 12.96 ≈ 13.0 km.

  4. Final Answer:

    13.0 km → Option A

  5. Quick Check:

    Both legs lie in the NE quadrant; combined y (≈11.66) is about twice x (≈5.66), giving hypotenuse ≈13 km ✅
Hint: Resolve the bearing leg into equal x/y components for 45° bearings, then apply Pythagoras.
Common Mistakes: Rounding intermediate components too coarsely or treating the bearing leg as pure N+E without trigonometry.
5. A pilot flies 100 km North, 100 km East, and then 100 km at bearing S45°E. Approximate straight-line distance from start?
medium
A. 141 km
B. 173 km
C. 200 km
D. 224 km

Solution

  1. Step 1: Compute components of each leg

    Leg1: Δx₁=0, Δy₁=+100; Leg2: Δx₂=+100, Δy₂=0; Leg3 (S45°E): Δx₃=100·sin(45)=70.71, Δy₃=-100·cos(45)=-70.71.

  2. Step 2: Net totals

    Σx = 0 + 100 + 70.71 = 170.71; Σy = 100 - 70.71 = 29.29.

  3. Step 3: Displacement

    √(170.71² + 29.29²) ≈ √(29142 + 858) ≈ √30000 = 173.2 km.

  4. Final Answer:

    173 km → Option B

  5. Quick Check:

    Mostly eastward motion → distance ≈ 170+ ✅
Hint: For bearing legs, decompose using sin-cos before summation.
Common Mistakes: Ignoring negative sign for southward component.

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