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Multiple People Movement Puzzle

Introduction

Multiple People Movement पहेलियाँ कई व्यक्तियों को अलग-अलग चाल निर्देश (विभिन्न दिशाएँ/दूरी या turn अनुक्रम) देती हैं। आपका कार्य उनकी अंतिम स्थितियों या मुखों की तुलना करना होता है - उदाहरण के लिए, किसी बिंदु से कौन सबसे दूर है, कौन किसके बाएँ है, या उनके बीच सापेक्ष दिशाएँ क्या हैं।

यह पैटर्न महत्वपूर्ण है क्योंकि कई प्रतियोगी परीक्षाएँ और aptitude tests multi-agent movement का उपयोग spatial reasoning, vector addition, और relative-position inference को परखने के लिए करती हैं।

Pattern: Multiple People Movement Puzzle

Pattern

मुख्य विचार: प्रत्येक व्यक्ति के पथ को एक vector (या facing-change अनुक्रम) मानें, उनकी final coordinates/facings निकालें, और फिर जोड़े-दर-जोड़े तुलना करके relative प्रश्नों का उत्तर दें।

व्यवहारिक नियम

  • प्रत्येक व्यक्ति की चालों को समतल पर coordinate परिवर्तनों में बदलें: North = +y, South = -y, East = +x, West = -x.
  • components को अलग-अलग जोड़ें/घटाएँ (सभी x-components जोड़ें, सभी y-components जोड़ें) ताकि final positions मिलें।
  • सीधी रेखा दूरी के लिए Pythagoras का प्रयोग करें और दिशा तय करने के लिए components के चिन्ह देखें (NE/SE/NW/SW या cardinal)।
  • facing संबंधित प्रश्नों के लिए, turns को क्रमवार ट्रैक करें (Step-by-step facing updates) - displacement से सीधे निष्कर्ष न निकालें।
  • जब कई लोग चल रहे हों, तो तुलना करने से पहले सभी परिणाम एक ही coordinate system पर संरेखित करें - संदेह होने पर त्वरित स्केच बनाएं।

Step-by-Step Example

Question

A 5 m North चलता है और फिर 4 m East। B 3 m East चलता है और फिर 6 m North। C 6 m North चलता है और फिर 1 m East। इनमें से किसका प्रारम्भिक बिंदु से सबसे अधिक दूरी है?

Solution

  1. Step 1: एक coordinate सिस्टम सेट करें

    शुरुआत बिंदु को (0,0) मान लें। (x, y) का उपयोग करें जहाँ East = +x और North = +y.

  2. Step 2: A की चालों को coordinates में बदलें

    A: 5 m North → y = +5; फिर 4 m East → x = +4. अंतिम A = (4, 5).

  3. Step 3: B की चालों को coordinates में बदलें

    B: 3 m East → x = +3; फिर 6 m North → y = +6. अंतिम B = (3, 6).

  4. Step 4: C की चालों को coordinates में बदलें

    C: 6 m North → y = +6; फिर 1 m East → x = +1. अंतिम C = (1, 6).

  5. Step 5: आरम्भिक बिंदु से सीधी-रेखा दूरी निकालें

    A दूरी = √(4² + 5²) = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.40.
    B दूरी = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 ≈ 6.71.
    C दूरी = √(1² + 6²) = √(1 + 36) = √37 ≈ 6.08.

  6. Step 6: दूरी की तुलना

    B (≈6.71) > A (≈6.40) > C (≈6.08). अतः B आरम्भिक बिंदु से सबसे दूर है।

  7. Final Answer:

    B is farthest from the starting point.

  8. Quick Check:

    B की y-component सबसे बड़ी (6) है और x भी ठीक-ठाक (3) है - इसलिए सबसे बड़ा hypotenuse → B ✅

Quick Variations

1. किसी के बाएँ/दाएँ कौन है - relative vectors का उपयोग करें।

2. जब विभिन्न व्यक्ति turn अनुक्रम अपनाएँ - final facing निकालें।

3. मिश्रित समस्याएँ: कुछ लोग move करें, कुछ turn - displacement और facing दोनों को मिलाकर सोचें।

4. प्रश्न: कौन किससे मिलता है या paths कब कटते हैं - समय दिए हों तो parametric positions बराबर करके हल करें।

Trick to Always Use

  • Step 1: तुरंत प्रत्येक व्यक्ति की चाल को (Δx, Δy) में बदलें।
  • Step 2: components जोड़ें और प्रत्येक व्यक्ति के लिए केवल एक बार √(Δx² + Δy²) से दूरी निकालें।
  • Step 3: तुलना के लिये squared distances (Δx² + Δy²) की तुलना करें ताकि square roots से बचा जा सके।

Summary

Summary

  • प्रत्येक व्यक्ति की चाल को coordinate components (Δx, Δy) में बदलें।
  • सभी x-और y-components जोड़कर हर व्यक्ति की अंतिम स्थिति निकालें।
  • किस सबसे दूर है यह पहचानने के लिए √(Δx² + Δy²) या squared distances की तुलना करें।
  • relative positions को विज़ुअलाइज़ करने और दिशा की पुष्टि के लिए त्वरित स्केच बनाएं।

याद रखने के लिए उदाहरण:
A: (4, 5), B: (3, 6), C: (1, 6) → B सबसे दूर है (सबसे बड़ा √(Δx² + Δy²)).

Practice

(1/5)
1. A walks 5 m North, B walks 3 m East, and C walks 4 m South. Who is farthest from the starting point?
easy
A. A
B. B
C. C
D. All are equally distant

Solution

  1. Step 1: Convert to coordinates

    A(0,5), B(3,0), C(0,-4).

  2. Step 2: Compute distances

    A = √(0² + 5²) = 5; B = √(3² + 0²) = 3; C = √(0² + (-4)²) = 4.

  3. Step 3: Compare

    A has the largest distance.

  4. Final Answer:

    A → Option A

  5. Quick Check:

    Largest magnitude 5 → A ✅
Hint: Convert to coordinate form (x, y) and apply √(x² + y²).
Common Mistakes: Comparing vertical or horizontal moves instead of diagonal displacement.
2. P walks 6 m East and 8 m North, Q walks 5 m East and 10 m North. Who is farther from the start?
easy
A. P
B. Q
C. Both equally distant
D. Cannot be determined

Solution

  1. Step 1: Compute coordinates

    P(6,8), Q(5,10).

  2. Step 2: Distances

    P = √(6² + 8²) = 10; Q = √(5² + 10²) = √125 ≈ 11.18.

  3. Step 3: Compare

    Q farther from start.

  4. Final Answer:

    Q → Option B

  5. Quick Check:

    Q has higher y-component (10) → farther ✅
Hint: Compare squared distances to avoid calculating square roots.
Common Mistakes: Forgetting to square each component before adding.
3. T walks 7 m North and 4 m East, while U walks 5 m North and 6 m East. Who is to the North-East of the other?
medium
A. T is to the North-East of U
B. U is to the North-East of T
C. Both at same point
D. None of these

Solution

  1. Step 1: Represent movements as coordinates

    T = (4, 7), U = (6, 5) where coordinates are (x = East, y = North).

  2. Step 2: Compute relative vector (U - T)

    (6 - 4, 5 - 7) = (2, -2).

  3. Step 3: Interpret the vector

    Δx = +2 (East), Δy = -2 (South) → from T to U is East and South → South-East. So U is South-East of T, and T is North-West of U.

  4. Final Answer:

    None of these → Option D

  5. Quick Check:

    U has larger x but smaller y than T (x↑ → East, y↓ → South) ⇒ SE relation, not NE. ✅
Hint: Compute (other - reference) as (Δx, Δy): +x = East, -x = West; +y = North, -y = South. Both positive → NE; mixed signs → intercardinal accordingly.
Common Mistakes: Mixing up the sign of Δy (treating a negative Δy as North instead of South) or reversing the subtraction order (T-U instead of U-T).
4. A walks 6 m North, B walks 8 m South, and C walks 5 m North. Who is farthest from B?
medium
A. A
B. B
C. Both equally distant
D. Cannot be determined

Solution

  1. Step 1: Positions

    A at +6 m (North), B at -8 m (South), C at +5 m (North) on the same vertical axis.

  2. Step 2: Distance from B

    Distance A-B = |6 - (-8)| = 14 m. Distance C-B = |5 - (-8)| = 13 m.

  3. Step 3: Compare

    A is farther from B since 14 > 13.

    4. Final Answer:

    A → Option A
Hint: When movement is along one axis, take absolute differences to compare distances.
Common Mistakes: Forgetting to take absolute difference (sign) when comparing distances along the same axis.
5. P walks 8 m East and 6 m North, Q walks 10 m East and 2 m North. How far and in which direction is Q from P?
medium
A. 2√5 m South-East
B. 5 m South
C. 3 m North-East
D. 4 m East

Solution

  1. Step 1: Coordinates

    P(8,6), Q(10,2).

  2. Step 2: Relative vector (Q-P)

    (10-8, 2-6) = (2, -4).

  3. Step 3: Distance

    √(2² + (-4)²) = √20 = 2√5.

  4. Step 4: Direction

    +x, -y → South-East.

  5. Final Answer:

    2√5 m South-East → Option A

  6. Quick Check:

    Δx=2, Δy=-4 → SE direction ✅
Hint: For relative direction, subtract coordinates (Q-P) and interpret sign pattern.
Common Mistakes: Reversing the subtraction order (P-Q instead of Q-P).

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