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Straight Line / Coinciding Hands

Introduction

ऐसे घड़ी प्रश्न जहाँ hour और minute की सूइयाँ ठीक एक साथ (coinciding) हों या ठीक सदिश में उल्टी (180° अलग) हों, उन्हें Straight Line / Coinciding Hands प्रश्न कहा जाता है। ये clock-पैटर्न के मूल हैं - इन्हें जानने से overlaps, opposites और frequency जैसी अन्य कोण संबंधी समस्याएँ आसान हो जाती हैं।

Pattern: Straight Line / Coinciding Hands

Pattern

मुख्य सूत्र - ये hour और minute हाथों की स्थिति (hour = 30H + 0.5m; minute = 6m) से निकले हैं:

  • हाथ मिलते हैं (0°): हल करें 30H - (11/2)m = 0 → m = (60/11)·H
  • हाथ विपरीत (180°): हल करें |30H - (11/2)m| = 180 → m = (60/11)·(H ± 6)

केवल वे मिनट मान मान्य हैं जिनके लिए 0 ≤ m < 60 होता है - यदि m नकारात्मक या ≥60 आए तो वह घटना आस-पास के घंटे में आती है।

Step-by-Step Example

Question

5 और 6 बजे के बीच घड़ी की सूइयाँ कब coincident होंगी? साथ ही 5 और 6 के बीच वे कब opposite होंगी, यह भी पता करें।

Solution

  1. Step 1: coincidence का सूत्र उपयोग करें

    मिलन के लिए: m = (60/11)·H. यहाँ H = 5 रखें।

  2. Step 2: coincidence के लिए m निकालें

    m = (60/11) × 5 = 300/11 = 27 3/11 मिनट. अतः सूइयाँ मिलेंगी 5:27 3/11 पर।

  3. Step 3: opposite का सूत्र लगाएँ

    विपरीत होने के लिए: m = (60/11)·(H ± 6). यहाँ H = 5 रखें।

  4. Step 4: opposite के m निकालें

    m₁ = (60/11)·(5 + 6) = (60/11)·11 = 60 → यह 6:00 को दर्शाता है (interval का किनारा)।
    m₂ = (60/11)·(5 - 6) = (60/11)·(-1) = -60/11 = -5 5/11 (यह पिछले घंटे में आता है). इसलिए 5-6 के भीतर कोई strictly interior opposite समय नहीं है; एक opposite ठीक 6:00 पर है और दूसरा 5-6 के बाहर है।

  5. Final Answer:

    Coincide → 5:27 3/11.
    Opposite → 6:00 (interval का किनारा) - 5-6 के अंदर कोई opposite नहीं।

  6. Quick Check:

    5:27 3/11 पर hour की स्थिति = 30×5 + 0.5×(300/11) = 150 + 150/11 = 163 7/11°. minute की स्थिति = 6×(300/11) = 1800/11 = 163 7/11° → दोनों समान → coincide ✅

Quick Variations

1. अगला coincidence पाने के लिए H में 1 जोड़कर फिर से m = (60/11)·(H+1) निकालें - coincidences करीब हर 65 5/11 मिनट में होते हैं।

2. opposites के लिए यदि (H + 6) पर m = 60 आता है तो opposite अगली घंटी पर ठीक घंटे पर होगा (कुछ opposites ठीक घंटे पर घटित होते हैं)।

3. यदि निकला माइनट नकारात्मक है तो घटना पिछले घंटे की है; यदि ≥60 है तो अगले घंटे की है।

Trick to Always Use

  • Step 1 → coincidence के लिए उपयोग करें m = (60/11)·H. opposite के लिए उपयोग करें m = (60/11)·(H ± 6).
  • Step 2 → तुरंत जाँचें कि 0 ≤ m < 60 है या नहीं। यदि नहीं तो पास के घंटे पर जाएँ।
  • Step 3 → सत्यापन के लिए hour-position = 30H + 0.5m और minute-position = 6m निकालकर तुलना करें।

Summary

Summary

  • हाथों के मिलने के लिए m = (60/11)·H सूत्र इस्तेमाल करें (0°)।
  • 180° के लिए m = (60/11)·(H ± 6) का उपयोग करें।
  • केवल वही मिनट मान स्वीकार्य हैं जो 0 से 60 के बीच हों; नकारात्मक या ≥60 परिणाम पास के घंटे पर लिए जाते हैं।
  • 12 घंटों में hands करीब 11 बार coincide होते हैं (लगभग हर 65 5/11 मिनट); opposites भी 11 बार होते हैं।

याद रखने के लिए उदाहरण:
Coincide at 5:27 3/11; opposite at 6:00 (interval का किनारा).

Practice

(1/5)
1. When do the hour and minute hands coincide between 3 and 4 o’clock?
easy
A. 3:16 4/11
B. 3:21 9/11
C. 3:27 3/11
D. 3:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use the coincidence formula

    For coincidence use m = (60/11)·H, where H is the hour.

  2. Step 2: Substitute H = 3

    m = (60/11) × 3 = 180/11 = 16 4/11 minutes.

  3. Step 3: Write the time

    So the hands coincide at 3:16 4/11.

  4. Final Answer:

    3:16 4/11 → Option A

  5. Quick Check:

    Hour pos = 30×3 + 0.5×(16 4/11) ≈ 90 + 8.182 = 98.182°; minute = 6×16.364 ≈ 98.182° → coincide ✅
Hint: Use m = (60/11)·H to find coincidence quickly.
Common Mistakes: Forgetting to convert the fractional minutes (elevenths) correctly.
2. When are the hands opposite (180° apart) between 1 and 2 o’clock?
easy
A. 1:21 9/11
B. 1:38 2/11
C. 1:27 3/11
D. 1:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use opposite-hand formula

    For opposite positions use m = (60/11)·(H ± 6).

  2. Step 2: Substitute H = 1

    m₁ = (60/11)(1 + 6) = 420/11 = 38 2/11 minutes; m₂ = (60/11)(1 - 6) = (60/11)(-5) (negative, discard for 1-2).

  3. Step 3: Choose valid time

    Valid opposite time in 1-2 is 1:38 2/11.

  4. Final Answer:

    1:38 2/11 → Option B

  5. Quick Check:

    Hour pos ≈ 30 + 0.5×38.182 = 30 + 19.091 = 49.091°; minute ≈ 229.091°; difference = 180° ✅
Hint: Compute (H + 6) first for opposites; check the (H - 6) root for previous hour.
Common Mistakes: Accepting negative m as valid inside the same hour.
3. At what time after 12:00 will the hands next coincide?
easy
A. 12:05 5/11
B. 12:10 10/11
C. 1:05 5/11
D. 12:16 4/11

Solution

  1. Step 1: Use coincidence formula

    m = (60/11)·H gives coincidence times for hour H.

  2. Step 2: Find next hour's coincidence

    For H = 1, m = (60/11) × 1 = 60/11 = 5 5/11 minutes → time = 1:05 5/11.

  3. Step 3: Interpret

    After 12:00 the next coincidence happens when H = 1 at 1:05 5/11.

  4. Final Answer:

    1:05 5/11 → Option C

  5. Quick Check:

    Hour pos ≈ 30 + 0.5×5.455 = 30 + 2.727 = 32.727°; minute = 6×5.455 = 32.727° → coincide ✅
Hint: The first coincidence after 12:00 is at 1:05 5/11 (use H=1).
Common Mistakes: Looking for a coincidence inside the 12th hour instead of the next hour.
4. How many times do the hands coincide in a 12-hour period?
medium
A. 11
B. 12
C. 10
D. 13

Solution

  1. Step 1: Understand spacing of coincidences

    Hands coincide roughly every 65 5/11 minutes, not exactly once each hour.

  2. Step 2: Count within 12 hours

    Because coincidences repeat every ≈65.454 minutes, they occur 11 times in 12 hours (the 12th-hour overlap falls at the next cycle boundary).

  3. Step 3: Conclude

    Total coincidences in 12 hours = 11.

  4. Final Answer:

    11 → Option A

  5. Quick Check:

    Check early sequence: 12:00, ~1:05 5/11, ~2:10 10/11 … after 11 occurrences the next is just past 12 hours ✅
Hint: Remember: coincidences occur 11 times per 12 hours (not 12).
Common Mistakes: Assuming one coincidence per hour (gives 12 incorrectly).
5. Between 7 and 8 o’clock, when are the hands exactly opposite (180° apart)?
medium
A. 7:21 9/11
B. 7:27 3/11
C. 7:38 2/11
D. 7:05 5/11

Solution

  1. Step 1: Use opposite-hand formula

    m = (60/11)·(H ± 6).

  2. Step 2: Substitute H = 7

    m₁ = (60/11)(7 - 6) = (60/11)×1 = 5 5/11 minutes. m₂ = (60/11)(7 + 6) = (60/11)×13 = 780/11 = 70 10/11 (invalid for 7-8).

  3. Step 3: Choose valid time

    The valid opposite time in 7-8 is 7:05 5/11.

  4. Final Answer:

    7:05 5/11 → Option D

  5. Quick Check:

    Hour pos ≈ 210 + 0.5×5.455 = 210 + 2.727 = 212.727°; minute ≈ 32.727°; difference = 180° ✅
Hint: For opposites, try (H - 6) first; it often gives the earlier valid time in the hour.
Common Mistakes: Accepting >60-minute root as valid for the same hour.

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