Introduction
कई clock प्रश्नों में समय या overlap पूछने की बजाय कोई दिया हुआ कोण - जैसे 45°, 90°, 135° - दिया जाता है और पूछा जाता है कि hour और minute हाथ किस समय वह कोण बनाते हैं। यह पैटर्न इसलिए ज़रूरी है क्योंकि इसमें घड़ी के दोनों हाथों की relative speed और angular distance का उपयोग होता है।
Pattern: Given Angle Between Hands
Pattern
मुख्य फॉर्मूला: जब हाथ θ° (θ = 0°, 45°, 90°, 135°, 180° आदि) का कोण बनाते हैं:
Angle = |30H - (11/2)M|
इसे M (घंटे के बाद मिनट) के लिए हल करने पर:
- M = (60/11) × (H ± θ/30)
“±” का मतलब है दो संभावित समय - एक जब हाथ θ° अलग होते हैं और एक जब विपरीत दिशा में वही कोण बनता है।
Step-by-Step Example
Question
2 और 3 बजे के बीच किस समय घड़ी के हाथ 45° का कोण बनाएँगे?
Solution
-
Step 1: फॉर्मूला लिखें
M = (60/11) × (H ± θ/30) -
Step 2: H = 2, θ = 45° रखें
M = (60/11) × (2 ± 45/30) = (60/11) × (2 ± 1.5) -
Step 3: दोनों मान निकालें
+ के लिए → (60/11) × 3.5 = 210/11 = 19 1/11 मिनट - के लिए → (60/11) × 0.5 = 30/11 = 2 8/11 मिनट -
Step 4: दोनों समय लिखें
हाथ 45° पर होंगे: 2:02 8/11 और 2:19 1/11. -
Final Answer:
2:02 8/11 और 2:19 1/11 -
Quick Check:
वापस रखकर देखें → |30×2 - (11/2)×(2.73)| ≈ 45° ✅
Quick Variations
1. θ = 90° रखने पर right angle और θ = 180° रखने पर opposite-hand समय मिलते हैं।
2. acute और obtuse दोनों कोणों के लिए “+” और “-” अलग-अलग निकालें।
3. यदि M ≥ 60 हो, तो 60 घटाकर अगले घंटे में बदल दें।
Trick to Always Use
- Step 1 → M = (60/11)(H ± θ/30) का उपयोग करें।
- Step 2 → दोनों + और - निकालकर दो समय प्राप्त करें।
- Step 3 → यदि M > 60 निकले तो उसे अगली hour में कन्वर्ट करें।
Summary
Summary
- फॉर्मूला: M = (60/11)(H ± θ/30)
- हर कोण के लिए सामान्यतः दो समय मिलते हैं (कुछ boundary को छोड़कर)।
- M को 0-60 की रेंज में जाँचें - तभी समय valid होगा।
- Reflex या बड़े कोण भी (360 - θ) लगाकर निकाले जा सकते हैं।
याद रखने योग्य उदाहरण:
2 बजे पर 45° → 2:02 8/11 और 2:19 1/11
Hint: Use H ± θ/30 inside (60/11) to get both roots.
Common Mistakes: Forgetting the smaller root (use ± both ways).