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Right Angle Between Hands

Introduction

इस प्रकार के प्रश्न पूछते हैं: “किस समय पर घड़ी के hour और minute हाथ ठीक right angle (90°) पर होते हैं?” यह समझना उपयोगी है क्योंकि यही लॉजिक आप 90°, 45°, 135°, और 180° जैसे अन्य कोणों के मामलों में भी लागू कर सकते हैं।

Pattern: Right Angle Between Hands

Pattern

मुख्य विचार यह है कि हाथों के 90° अलग होने का समय निम्न सूत्र से निकाला जाए:
|(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)| = 90

यह समीकरण दो संभावित हल देता है क्योंकि हाथ ओवरलैप होने से पहले और ओवरलैप के बाद दोनों दिशा में right angle बन सकता है:

  • जब minute हाथ hour हाथ से आगे हो: m = (60/11)(H + 3)
  • जब minute हाथ hour हाथ के पीछे हो: m = (60/11)(H - 3)

केवल वे m के मान मान्य हैं जो 0 और 60 के बीच आते हैं (उस घंटे में मिनट्स के रूप में)।

Step-by-Step Example

Question

2 और 3 बजे के बीच घड़ी के हाथ किस समय right angle पर होंगे?

Solution

  1. Step 1: सूत्र लिखें

    |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)| = 90

  2. Step 2: H = 2 रखें

    |(30 × 2) - (11/2 × m)| = 90 → |60 - 5.5m| = 90

  3. Step 3: absolute वैल्यू हटाएँ

    हमें दो समीकरण मिलते हैं:
    (a) 60 - 5.5m = 90 और (b) 60 - 5.5m = -90

  4. Step 4: दोनों समीकरण हल करें

    (a) से: 5.5m = -30 → m = -5.45 (सम्भव नहीं - मिनट्स नकारात्मक नहीं हो सकते)।
    (b) से: 5.5m = 150 → m = 27.27 मिनट = 27 3/11 मिनट।

  5. Step 5: परिणाम की व्याख्या

    केवल धनात्मक मान ही 2-3 के इंटरवल में आते हैं। अतः right angle बनेगा 2:27 3/11 पर।

  6. Step 6: अगला अंतराल जाँचें

    अगला right angle अगली घड़ी में होगा (3-4) पर लगभग 3:32 8/11 पर।

  7. Final Answer:

    2 और 3 के बीच → 2:27 3/11
    3 और 4 के बीच → 3:00 और 3:32 8/11

  8. Quick Check:

    2:27 3/11 पर प्रतिस्थापन करें → (30×2) - (11/2×27.27) = 60 - 150 = -90 → |-90| = 90° ✅

Quick Variations

1. किसी भी घंटे के लिए वही तरीका लागू करें बस H बदल दें।

2. यदि मिनट नकारात्मक आ जाए तो समझ लें कि वह right angle पिछले घंटे में हुए थे।

3. अन्य कोणों (जैसे 45° या 135°) के लिए बराबर जगह पर 90 की जगह वह कोण रख दें और समान प्रक्रिया अपनाएँ।

Trick to Always Use

  • सरल सूत्र का इस्तेमाल करें: |30H - 11M/2| = 90.
  • हमेशा दो समय देखें - एक overlap से पहले और एक overlap के बाद।
  • नकारात्मक या 60 से बड़े मिनट मानों को नकार दें; वे किसी अन्य घंटे के लिए होंगे।

Summary

Summary

  • Right angles तब होते हैं जब |30H - 11M/2| = 90 पूरा होता है।
  • प्रत्येक घंटे के लिए आम तौर पर दो ऐसे समय होते हैं (कुछ घंटे के आस-पास exceptions के साथ)।
  • मान्य मिनट मान 0 से 60 के बीच होने चाहिए।
  • यदि नकारात्मक या >60 परिणाम मिलता है तो वह उस घंटे के बाहर होगा।

याद रखने के लिए उदाहरण:
2 और 3 के बीच → 2:27 3/11
3 और 4 के बीच → 3:00 और 3:32 8/11

Practice

(1/5)
1. At what time between 1 and 2 o’clock will the hands of a clock be at a right angle for the first time?
easy
A. 1:21 9/11
B. 1:27 3/11
C. 1:32 8/11
D. 1:15 5/11

Solution

  1. Step 1: Write the right-angle condition

    |(30 × H) - (11/2 × m)| = 90.

  2. Step 2: Substitute H = 1

    |30 - 5.5m| = 90.

  3. Step 3: Remove the absolute value and solve

    Case (a): 30 - 5.5m = 90 → 5.5m = -60 → m = -60/5.5 (invalid).
    Case (b): 30 - 5.5m = -90 → 5.5m = 120 → m = 120/5.5 = 21 9/11 minutes.

  4. Step 4: Interpret

    m = 21 9/11 is within 0-60, so the first right angle is at 1:21 9/11.

  5. Final Answer:

    1:21 9/11 → Option A

  6. Quick Check:

    Hour position = 30×1 + 0.5×(21 9/11) ≈ 30 + 10.545 = 40.545°; minute = 6×21.818 ≈ 130.909°; difference ≈ 90° ✅
Hint: Use |30H - 11M/2| = 90 and discard negative minute roots for that hour.
Common Mistakes: Accepting negative minute values as valid for the same hour.
2. At what time between 4 and 5 o’clock will the hands of a clock be at right angles for the first time?
easy
A. 4:05 5/11
B. 4:16 4/11
C. 4:27 3/11
D. 4:38 2/11

Solution

  1. Step 1: Use the general formulas

    m = (60/11)(H ± 3).

  2. Step 2: Compute for H = 4

    m₁ = (60/11)(4 - 3) = 60/11 = 5 5/11 minutes.
    m₂ = (60/11)(4 + 3) = 420/11 = 38 2/11 minutes.

  3. Step 3: Choose the first occurrence after 4:00

    The earlier valid time is 4:05 5/11 (m₁).

  4. Final Answer:

    4:05 5/11 → Option A

  5. Quick Check:

    Hour position = 30×4 + 0.5×5.454 ≈ 120 + 2.727 = 122.727°; minute = 6×5.454 ≈ 32.727°; difference ≈ 90° ✅
Hint: Compute (60/11)(H - 3) for the earlier right angle in the hour.
Common Mistakes: Mixing up which of the ± roots is earlier in the hour.
3. At what time after 5:00 (between 5 and 6) will the hands of a clock be at a right angle for the first time?
easy
A. 5:10 10/11
B. 5:21 9/11
C. 5:16 4/11
D. 5:32 8/11

Solution

  1. Step 1: Use m = (60/11)(H - 3) or (60/11)(H + 3)

  2. Step 2: Substitute H = 5

    m₁ = (60/11)(5 - 3) = (60/11)×2 = 120/11 = 10 10/11 minutes.
    m₂ = (60/11)(5 + 3) = (60/11)×8 = 480/11 = 43 7/11 minutes.

  3. Step 3: The first right angle after 5:00

    is at 5:10 10/11 (m₁).

  4. Final Answer:

    5:10 10/11 → Option A

  5. Quick Check:

    Hour = 30×5 + 0.5×10.909 ≈ 150 + 5.455 = 155.455°; minute ≈ 65.455°; difference ≈ 90° ✅
Hint: For the earlier time use (60/11)(H - 3) when it stays positive.
Common Mistakes: Rounding fractions too early and losing precision.
4. How many times do the hands of a clock make a right angle between 12 noon and 6 p.m.?
medium
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

Solution

  1. Step 1: Understand the hourly pattern

    Typically, hands form a right angle twice in an hour (one when minute hand is ahead, one when behind), giving 2 per hour.

  2. Step 2: Count hours from 12 to 6

    There are 6 hours (12→1, 1→2, …, 5→6). If each hour gives 2 right angles, total = 6 × 2 = 12.

  3. Step 3: Check exceptions

    Special-hour exceptions (where a root falls outside the hour) do not remove a count within 12-6 range, so total remains 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option C

  5. Quick Check:

    2 right angles × 6 hours = 12 ✅
Hint: Multiply the number of hours by 2 (for standard intervals).
Common Mistakes: Forgetting that some hours may shift a root into adjacent hour-verify when needed.
5. At what time between 8 and 9 o’clock will the hands of a clock be at a right angle?
medium
A. 8:05 5/11
B. 8:16 4/11
C. 8:27 3/11
D. 8:49 1/11

Solution

  1. Step 1: Set H = 8 in m = (60/11)(H ± 3)

  2. Step 2: Compute both roots

    m₁ = (60/11)(8 - 3) = (60/11)×5 = 300/11 = 27 3/11 minutes.
    m₂ = (60/11)(8 + 3) = (60/11)×11 = 60 → corresponds to 9:00 (not inside 8-9).

  3. Step 3: Choose the valid time in 8-9

    The valid right angle in 8-9 is 8:27 3/11.

  4. Final Answer:

    8:27 3/11 → Option C

  5. Quick Check:

    Hour ≈ 30×8 + 0.5×27.273 = 240 + 13.636 = 253.636°; minute = 6×27.273 = 163.636°; difference = 90° ✅
Hint: If (60/11)(H + 3) = 60, it means the other right angle is exactly at the next hour (e.g., 9:00).
Common Mistakes: Assuming both ± roots always lie within the same hour.

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