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Hands Forming Same Angle Multiple Times

Introduction

बहुत से clock वाले प्रश्न पूछते हैं कि hour और minute hands किसी दिए हुए angle (उदा., 0°, 90°, या 45°) को किसी अवधि (जैसे 12 hours या 24 hours) में कितनी बार बनाते हैं। hands की relative motion और angle-समीकरण कैसे हल करते हैं यह समझने से आप occurrences गिन सकते हैं और exact times निकाल सकते हैं।

यह pattern ज़रूरी है क्योंकि यह algebraic roots को time-normalization के साथ मिलाता है और उन exceptions को साफ़ करता है जो तब आते हैं जब कोई root उस hour के बाहर पड़ जाए।

Pattern: Hands Forming Same Angle Multiple Times

Pattern

Key concept: relative-angle समीकरण और root normalization का उपयोग करके times निकालें, फिर time-window में valid roots गिनें।

किसी hour H के बाद के मिनट m पर hands angle θ बनाने के लिए फ़ॉर्मूला:
|(30H - (11/2)·m)| = θ
इसे linear रूप में सुलझाने पर हर hour के लिए दो roots मिलते हैं (normalization से पहले):
m = (60/11)·(H ± θ/30)

व्यवहारिक कदम:

  1. हर integer hour H = 0,1,2,...,11 के लिए दोनों roots m निकालें।
  2. Roots को normalize करें: एक root तब स्वीकार करें जब 0 ≤ m < 60; अगर m ≥ 60 हो तो 60 घटाकर hour को +1 कर दें (या उसे अगले hour की root मानें); अगर m < 0 हो तो 60 जोड़कर hour -1 कर दें।
  3. Requested interval (उदा., 12 hours) में सभी normalized valid times गिनें। ध्यान रखें: θ = 0° (coincidence) 12 घंटों में 11 बार आता है; θ = 180° (opposition) भी 12 घंटों में 11 बार देता है; बहुत से अन्य θ सामान्यतः 22 occurrences देते हैं (हर hour दो), पर hour-by-hour normalization चेक ज़रूरी है।

Step-by-Step Example

Question

12 hours में clock की hands कितनी बार right angle (90°) बनाती हैं?

Solution

  1. Step 1: θ = 90° के लिए root formula इस्तेमाल करें


    θ/30 = 3, अतः हर hour के लिए दो roots हैं:
    m = (60/11)·(H ± 3)

  2. Step 2: hour-by-hour roots देखें


    हर integer H = 0 to 11 के लिए m₁ = (60/11)(H - 3) और m₂ = (60/11)(H + 3) निकालें।
    Normalization के बाद (केवल 0 ≤ m < 60 स्वीकार करते हुए और hour shift करते हुए) सामान्यतः लगभग हर hour में दो valid मिनट मिलते हैं।

  3. Step 3: valid occurrences गिनें


    Right angles ज्यादातर hours में दो बार होते हैं, इसलिए naive रूप से 12 hours में 24 मिलते हैं। पर normalization चलते हुए दो ऐसे naive occurrences boundary पर shift हो जाते हैं, इसलिए वास्तविक संख्या घटकर 22 हो जाती है।
    (दूसरे शब्दों में: 2 right-angle positions प्रति hour × 12 hours = 24, minus 2 boundary/shifted roots = 22.)

  4. Final Answer:

    22 times

  5. Quick Check:

    मानक परिणाम: right angles 12 hours में 22 बार होते हैं (और 24 hours में 44) - यह hour-by-hour method से मेल खाता है। ✅

Quick Variations

1. Coincidence (0°): Hands 12 hours में 11 बार coincide होती हैं (12 नहीं)।

2. Opposition (180°): 12 hours में 11 बार opposite स्थितियाँ मिलती हैं।

3. General θ (0° या 180° नहीं): आम तौर पर 12 hours में 22 occurrences देती है - पर हमेशा H = 0..11 के लिए normalization verify करें क्योंकि कभी-कभी एक root हर hour के लिए 0-60 के बाहर गिरकर adjacent hour में शिफ्ट हो जाता है।

Trick to Always Use

  • Step 1 → हर H (0..11) के लिए m = (60/11)·(H ± θ/30) लगाएँ।
  • Step 2 → प्रत्येक root को normalize करें (0 ≤ m < 60)। अगर m ≥ 60 हो तो 60 घटाकर अगले hour की root मानें; अगर m < 0 हो तो 60 जोड़कर previous hour की root मानें।
  • Step 3 → Requested interval में unique normalized times गिनें; boundary duplicates पर ध्यान दें (वे naive 2×12 count को कम करते हैं)।

Summary

Summary

  • Key takeaway 1: दो algebraic roots प्रति hour पाने के लिए उपयोग करें m = (60/11)·(H ± θ/30).
  • Key takeaway 2: Roots को 0 ≤ m < 60 में normalize करें और जब m इस सीमा के बाहर हो तो hour shift करें।
  • Key takeaway 3: Interval भर में unique normalized times गिनें; ध्यान दें कि θ = 0° और θ = 180° 12 hours में 11 occurrences देते हैं (12 नहीं)।
  • Key takeaway 4: संदेह होने पर hour-by-hour निकालें और मानक परिणामों से जल्दी चेक करें (उदा., 90° → 22 times in 12 hours)।

याद रखने के लिए उदाहरण:
Right angle (90°) → 12 hours में 22 बार (लगभग हर hour में दो बार, बस दो shifted roots की वजह से total 24 से घटकर 22)।

Practice

(1/5)
1. How many times do the hands of a clock form a 45° angle in 12 hours?
easy
A. 22 times
B. 24 times
C. 11 times
D. 12 times

Solution

  1. Step 1: Use the general counting rule

    For any angle θ except 0° and 180°, the algebraic formula gives two roots per hour before normalization, so the naive count is 2 × 12 = 24.

  2. Step 2: Account for shifted roots

    Two of those naive roots shift into adjacent hours after normalization, so the actual count reduces by 2 → 24 - 2 = 22 times.

  3. Final Answer:

    22 times → Option A

  4. Quick Check:

    Standard result: any θ (≠0,180) appears 22 times in 12 hours ✅
Hint: Except 0°/180°, most angles appear 22 times in 12 hours.
Common Mistakes: Assuming 2×12 = 24 without normalization adjustments.
2. Between 1 and 2 o'clock, at what times are the hands 30° apart?
easy
A. 1:05 and 1:20
B. 1:00 and 1:10 10/11
C. 1:06 6/11 and 1:24 8/11
D. 1:02 2/11 and 1:27 3/11

Solution

  1. Step 1: Formula for minutes

    Use m = (60/11)·(H ± θ/30). Here θ = 30°, so θ/30 = 1. For H = 1: m = (60/11)·(1 ± 1).

  2. Step 2: Compute the two roots

    m₁ = (60/11)·(1 - 1) = 0 → 1:00.
    m₂ = (60/11)·(1 + 1) = (60/11)·2 = 120/11 = 10 10/11 minutes → 1:10 10/11.

  3. Final Answer:

    1:00 and 1:10 10/11 → Option B

  4. Quick Check:

    At 1:00 angle = 30° (hour at 30°, minute at 0°). The computed fractional minute also satisfies the formula ✅
Hint: Plug θ/30 into (60/11)(H ± ...) and normalize roots into 0-60.
Common Mistakes: Ignoring the m = 0 root (exact hour) when it appears.
3. How many minutes are there between two successive coincidences (hands together)?
easy
A. 65 5/11 minutes
B. 32 8/11 minutes
C. 60 minutes
D. 55 minutes

Solution

  1. Step 1: Use relative speed

    The minute hand gains on the hour hand at (6 - 0.5) = 11/2 degrees per minute.

  2. Step 2: Time for full 360° gain

    Time = 360 ÷ (11/2) = 360 × (2/11) = 720/11 = 65 5/11 minutes.

  3. Final Answer:

    65 5/11 minutes → Option A

  4. Quick Check:

    11 coincidences occur in 12 hours → 12 hours ÷ 11 ≈ 65.4545 min ✅
Hint: Time between identical relative positions = (2/11)×360 = 720/11 min.
Common Mistakes: Using 360 ÷ 6 (minute speed) instead of relative speed 11/2.
4. Between 11 and 12 o'clock, at what times are the hands 150° apart?
medium
A. 11:05 5/11 and 11:50 10/11
B. 11:22 2/11 and 11:37 8/11
C. 11:27 3/11 and 11:32 8/11
D. 11:15 and 11:45

Solution

  1. Step 1: Apply root formula

    m = (60/11)·(H ± θ/30). Here θ = 150°, so θ/30 = 5. For H = 11: m = (60/11)·(11 ± 5).

  2. Step 2: Compute and normalize

    m₁ = (60/11)·(11 - 5) = (60/11)·6 = 360/11 = 32 8/11 → 11:32 8/11.
    m₂ = (60/11)·(11 + 5) = (60/11)·16 = 960/11 = 87 3/11 → normalize by subtracting 60 → 27 3/11 → 11:27 3/11.

  3. Final Answer:

    11:27 3/11 and 11:32 8/11 → Option C

  4. Quick Check:

    Both minutes lie within 0-60 after normalization and satisfy |30H - 11m/2| = 150° ✅
Hint: If a root > 60, subtract 60 and shift hour forward (or interpret as next-hour root).
Common Mistakes: Failing to normalize >60 roots back into the hour window.
5. Between 2 and 3 o'clock, at what time do the hands coincide (0°)?
medium
A. 2:00
B. 2:16 4/11
C. 2:21 9/11
D. 2:10 10/11

Solution

  1. Step 1: Use coincidence formula

    For coincidence (θ = 0°) the minute m = (60/11)·H.

  2. Step 2: Substitute H = 2

    m = (60/11)·2 = 120/11 = 10 10/11 minutes → 2:10 10/11.

  3. Final Answer:

    2:10 10/11 → Option D

  4. Quick Check:

    Standard coincidences: 1:05 5/11, 2:10 10/11, 3:16 4/11 ... and so on - matches sequence ✅
Hint: Coincidence times follow m = (60/11)·H exactly for integer H.
Common Mistakes: Confusing coincidence with right-angle formula (θ = 90°).

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