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Basic Angle Between Hands

Introduction

घड़ी के प्रश्नों में सबसे आम सवालों में से एक होता है किसी दिए हुए समय पर hour और minute हाथों के बीच का angle निकालना। यह पैटर्न समझना ज़रूरी है क्योंकि यही आधार बनता है बाकी clock-संबंधित कैलकुलेशनों (जैसे right angles, coinciding hands, और reflex angles) के लिए।

Pattern: Basic Angle Between Hands

Pattern

किसी भी समय पर hour और minute हाथों के बीच का कोण इस सूत्र से मिलता है:
Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|

यह सूत्र इसलिए काम करता है क्योंकि hour hand हर मिनट 0.5° चलता है और minute hand हर मिनट 6° चलता है। इन दोनों की स्थिति के बीच का अंतर ही माँगा गया कोण देता है।

Step-by-Step Example

Question

समय 03:15 पर hour और minute हाथों के बीच का कोण निकालिए।

Solution

  1. Step 1: सूत्र लिखें

    Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|।

  2. Step 2: दिए गए समय के मान रखें

    Angle = |(30 × 3) - (11/2 × 15)| = |90 - 82.5|.

  3. Step 3: परिणाम सरल करें

    |7.5| = 7.5°।

  4. Final Answer:

    7.5°

  5. Quick Check:

    Hour hand हर मिनट 0.5° चलता है → 15 मिनट × 0.5° = 7.5° shift → परिणाम से मेल खाता है ✅

Quick Variations

1. अलग-अलग समय प्रारूपों (उदा., 6:20 या 9:45) पर कोण निकालना।

2. छोटे कोण या बड़ा (reflex) कोण निकालना।

3. उसी सूत्र का उपयोग करके यह जाँचना कि हाथ 90° या 180° पर हैं या नहीं।

Trick to Always Use

  • समय को सही तरीके से hour और minute में बदलें।
  • सीधा सूत्र उपयोग करें: Angle = |(30H - 11M/2)|।
  • यदि आवश्यक हो तो 360° - result करके reflex angle पायें।

Summary

Summary

  • Hour hand हर मिनट 0.5° चलता है, और minute hand हर मिनट 6° चलता है।
  • सूत्र: Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|।
  • यदि उत्तर 180° से अधिक हो तो छोटा कोण पाने के लिए 360° - उत्तर कर लें।
  • इसी अवधारणा का प्रयोग 90°, 180°, और 45° जैसे केसों में होता है।

याद रखने के लिए उदाहरण:
03:15 पर कोण = 7.5°

Practice

(1/5)
1. Find the angle between the hour and minute hands at 4:20.
easy
A. 10°
B. 100°
C. 50°
D. 130°

Solution

  1. Step 1: Write the formula

    Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|

  2. Step 2: Substitute the given time

    Angle = |(30 × 4) - (11/2 × 20)| = |120 - 110| = 10°.

  3. Step 3: Choose the smaller angle

    The computed angle is 10°, which is already the smaller angle.

  4. Final Answer:

    10° → Option A

  5. Quick Check:

    Hour hand = 30×4 + 0.5×20 = 130°; Minute hand = 6×20 = 120°; difference = 10° ✅
Hint: Use |30H - 11M/2| and take the absolute value to get the angle.
Common Mistakes: Not accounting for the hour hand's movement due to minutes.
2. What is the angle between the hands of a clock at 5:30?
easy
A. 75°
B. 15°
C. 150°
D. 165°

Solution

  1. Step 1: Apply the formula

    Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|

  2. Step 2: Substitute values

    Angle = |(30 × 5) - (11/2 × 30)| = |150 - 165| = 15°.

  3. Step 3: Interpret

    15° is the smaller angle; reflex would be 360 - 15 = 345° (not needed).

  4. Final Answer:

    15° → Option B

  5. Quick Check:

    Hour hand = 30×5 + 0.5×30 = 165°; Minute hand = 6×30 = 180°; difference = 15° ✅
Hint: Calculate hour and minute positions separately if unsure, then subtract.
Common Mistakes: Assuming the hour hand stays exactly at the hour mark and ignoring its shift.
3. Find the smaller angle between the clock hands at 7:40.
easy
A. 100°
B. 105°
C. 10°
D. 115°

Solution

  1. Step 1: Use the standard formula

    Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|

  2. Step 2: Substitute the time

    Angle = |(30 × 7) - (11/2 × 40)| = |210 - 220| = 10°.

  3. Step 3: Confirm smaller angle

    10° is already the smaller angle between the hands.

  4. Final Answer:

    10° → Option C

  5. Quick Check:

    Hour hand = 30×7 + 0.5×40 = 230°; Minute hand = 6×40 = 240°; difference = 10° ✅
Hint: If minutes > 30, expect the smaller angle often to be small; still compute precisely.
Common Mistakes: Confusing the sign when subtracting (use absolute value).
4. At what angle are the hands of the clock at 9:25?
medium
A. 142.5°
B. 137.5°
C. 130°
D. 132.5°

Solution

  1. Step 1: Set up the formula

    Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|

  2. Step 2: Substitute time

    Angle = |(30 × 9) - (11/2 × 25)| = |270 - 137.5| = 132.5°.

  3. Step 3: Confirm smaller angle

    132.5° is the smaller angle (less than 180°).

  4. Final Answer:

    132.5° → Option D

  5. Quick Check:

    Hour hand = 30×9 + 0.5×25 = 282.5°; Minute hand = 6×25 = 150°; difference = 132.5° ✅
Hint: Compute hour and minute absolute positions to avoid arithmetic slips.
Common Mistakes: Forgetting to convert minutes into half-degrees for hour hand movement.
5. Find the smaller angle between the hour and minute hands when the time is 11:10.
medium
A. 85°
B. 95°
C. 100°
D. 110°

Solution

  1. Step 1: Apply the clock-angle formula

    Angle = |(30 × Hour) - (11/2 × Minutes)|

  2. Step 2: Substitute values

    Angle = |(30 × 11) - (11/2 × 10)| = |330 - 55| = 275°.

  3. Step 3: Take the smaller angle

    Smaller angle = 360 - 275 = 85°.

  4. Final Answer:

    85° → Option A

  5. Quick Check:

    Hour hand = 30×11 + 0.5×10 = 335°; Minute hand = 6×10 = 60°; difference = 275° → smaller = 85° ✅
Hint: If computed angle > 180°, subtract from 360° to get the smaller angle.
Common Mistakes: Failing to convert the >180° result into the smaller reflex complement.

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