Recommended
Introduction
பல compound interest problems இல் fractional years (உதாரணமாக 1.5 years அல்லது 2.25 years) இடம்பெறுகின்றன. முக்கியமான (mathematical) முறையாக, fractional time ஐ சரியான exponent ஆகவோ அல்லது மொத்த compounding periods ஆகவோ மாற்றி, compound interest formula ஐ நேரடியாக பயன்படுத்த வேண்டும். சில exams/textbooks இல் fractional leftover periods க்கு ஒரு வசதியான convention பயன்படுத்தப்படுகிறது - அதற்கான குறிப்பு தனியாக கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
Pattern: Fractional Time (Compound Interest)
Key concept: Fractional years ஐ மொத்த compounding periods ஆக மாற்றி பயன்படுத்துதல்
General formula:
A = P × (1 + R/(100 × n))^(nT) → CI = A - P.
Where:
- P = Principal
- R = Annual nominal rate (in %)
- T = Time in years (fractional ஆக இருக்கலாம்)
- n = ஒரு வருடத்தில் interest compound செய்யப்படும் முறை எண்ணிக்கை (annual க்கு 1, half-yearly க்கு 2, quarterly க்கு 4, ...)
Note: nT என்பது மொத்த compounding periods. இது integer ஆகவும் இருக்கலாம் (உதா., 1.5 years with half-yearly → 3 periods) அல்லது non-integer ஆகவும் இருக்கலாம் (உதா., 1.5 years with annual → exponent 1.5). Fractional exponent உடன் உள்ள mathematical formula செல்லுபடியாகும்; ஆனால் compounding frequency discrete ஆக இருக்கும் போது, textbook/exam convention பின்பற்ற வேண்டும் என்றால், கீழே கொடுக்கப்பட்ட note section படி leftover partial periods ஐ கையாள வேண்டும்.
Step-by-Step Example
Question
₹12,000 மீது, வருடத்திற்கு 8% வட்டியில், 1.5 years க்கு (annual compounding) compound interest ஐ காண்க.
Solution
-
Step 1: Values ஐ கண்டறிதல்
P = ₹12,000; R = 8% p.a.; T = 1.5 years; n = 1 (annual). -
Step 2: Fractional exponent உடன் formula பயன்படுத்துதல்
A = P × (1 + R/(100 × n))^(nT) = 12,000 × (1 + 0.08)^{1.5} = 12,000 × (1.08)^{1.5}. -
Step 3: Calculation
(1.08)^{1.5} = 1.08 × √1.08 ≈ 1.08 × 1.03923048454 ≈ 1.12231892331.
A ≈ 12,000 × 1.12231892331 = ₹13,467.82. -
Step 4: CI ஐ காண்க
CI = A - P ≈ 13,467.82 - 12,000 = ₹1,467.82. -
Final Answer (Mathematical):
CI ≈ ₹1,467.82. -
Quick Check:
1.5 years growth factor ≈ 12.2319% total → 12,000 × 1.122319 ≈ 13,467.82 ✅
Solution
-
Step A:
முழு years க்கு amount கணக்கிடுதல் (1 year): A₁ = 12,000 × 1.08 = 12,960. -
Step B:
மீதமுள்ள half-year (f = 0.5) க்கு, A₁ மீது Simple Interest கணக்கிடுதல்: SI = A₁ × R × f / 100 = 12,960 × 8% × 0.5 = 12,960 × 0.04 = ₹518.40. -
Step C:
A_total = 12,960 + 518.40 = ₹13,478.40 → CI = 13,478.40 - 12,000 = ₹1,478.40. -
Note:
இந்த textbook/exam convention (முழு periods க்கு compound செய்து, மீதமுள்ள fraction க்கு SI பயன்படுத்துதல்) பல curricula இல் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது pure fractional-exponent method ஐ விட சற்றே மாறுபட்ட numeric result தரும்.
Quick Variations
1. Annual compounding + fractional years → exponent T (mathematical) அல்லது textbook convention (முழு years compound + மீதமுள்ள fraction க்கு SI).
2. Half-yearly / quarterly → nT integer ஆக இருந்தால் direct formula பயன்படுத்தவும்; nT non-integer ஆக இருந்தால் curriculum convention ஐ பின்பற்றவும் (question explicitly fractional exponent கேட்காவிட்டால்).
3. Compounding frequency அதிகமாகவும் time fractional ஆகவும் இருந்தால், exam instruction வேறு எதுவும் சொல்லாவிட்டால் mathematical fractional-exponent method அதிக precision தரும்.
Trick to Always Use
- Step 1: r_per = R / (100 × n) மற்றும் total periods = nT கணக்கிடுங்கள்.
- Step 2: Total periods integer என்றால் → A = P × (1 + r_per)^{nT} (direct ஆக பயன்படுத்துங்கள்).
- Step 3: Total periods fractional மற்றும் problem mathematical என்றால் → fractional exponent ஐ நேரடியாக பயன்படுத்தலாம்: A = P × (1 + r_per)^{nT}.
- Step 4: Total periods fractional மற்றும் exam/textbook discrete compounding எதிர்பார்த்தால் → integer periods வரை compound செய்து, அதன் பின் மீதமுள்ள fractional period க்கு simple interest பயன்படுத்துங்கள்.
Summary
- General formula: A = P × (1 + R/(100×n))^(nT) → CI = A - P.
- Annual compounding + fractional years: exponent T (mathematical). Textbook convention: முழு years compound செய்து, மீதமுள்ள fraction க்கு SI.
- Half-yearly/quarterly: r_per = R/n மற்றும் total periods = nT - nT integer என்றால் direct compounding; இல்லையெனில் instruction/convention பின்பற்றவும்.
- சந்தேகம் இருந்தால், எந்த method பயன்படுத்துகிறீர்கள் (mathematical fractional exponent அல்லது textbook discrete-period + SI) என்பதை தெளிவாக குறிப்பிடுங்கள்.