0
0

Fractional Time (Compound Interest)

Introduction

பல compound interest problems இல் fractional years (உதாரணமாக 1.5 years அல்லது 2.25 years) இடம்பெறுகின்றன. முக்கியமான (mathematical) முறையாக, fractional time ஐ சரியான exponent ஆகவோ அல்லது மொத்த compounding periods ஆகவோ மாற்றி, compound interest formula ஐ நேரடியாக பயன்படுத்த வேண்டும். சில exams/textbooks இல் fractional leftover periods க்கு ஒரு வசதியான convention பயன்படுத்தப்படுகிறது - அதற்கான குறிப்பு தனியாக கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

Pattern: Fractional Time (Compound Interest)

Pattern

Key concept: Fractional years ஐ மொத்த compounding periods ஆக மாற்றி பயன்படுத்துதல்

General formula:
A = P × (1 + R/(100 × n))^(nT) → CI = A - P.
Where:

  • P = Principal
  • R = Annual nominal rate (in %)
  • T = Time in years (fractional ஆக இருக்கலாம்)
  • n = ஒரு வருடத்தில் interest compound செய்யப்படும் முறை எண்ணிக்கை (annual க்கு 1, half-yearly க்கு 2, quarterly க்கு 4, ...)

Note: nT என்பது மொத்த compounding periods. இது integer ஆகவும் இருக்கலாம் (உதா., 1.5 years with half-yearly → 3 periods) அல்லது non-integer ஆகவும் இருக்கலாம் (உதா., 1.5 years with annual → exponent 1.5). Fractional exponent உடன் உள்ள mathematical formula செல்லுபடியாகும்; ஆனால் compounding frequency discrete ஆக இருக்கும் போது, textbook/exam convention பின்பற்ற வேண்டும் என்றால், கீழே கொடுக்கப்பட்ட note section படி leftover partial periods ஐ கையாள வேண்டும்.

Step-by-Step Example

Question

₹12,000 மீது, வருடத்திற்கு 8% வட்டியில், 1.5 years க்கு (annual compounding) compound interest ஐ காண்க.

Solution

  1. Step 1: Values ஐ கண்டறிதல்

    P = ₹12,000; R = 8% p.a.; T = 1.5 years; n = 1 (annual).

  2. Step 2: Fractional exponent உடன் formula பயன்படுத்துதல்

    A = P × (1 + R/(100 × n))^(nT) = 12,000 × (1 + 0.08)^{1.5} = 12,000 × (1.08)^{1.5}.

  3. Step 3: Calculation

    (1.08)^{1.5} = 1.08 × √1.08 ≈ 1.08 × 1.03923048454 ≈ 1.12231892331.
    A ≈ 12,000 × 1.12231892331 = ₹13,467.82.

  4. Step 4: CI ஐ காண்க

    CI = A - P ≈ 13,467.82 - 12,000 = ₹1,467.82.

  5. Final Answer (Mathematical):

    CI ≈ ₹1,467.82.

  6. Quick Check:

    1.5 years growth factor ≈ 12.2319% total → 12,000 × 1.122319 ≈ 13,467.82 ✅

Solution

  1. Step A:

    முழு years க்கு amount கணக்கிடுதல் (1 year): A₁ = 12,000 × 1.08 = 12,960.

  2. Step B:

    மீதமுள்ள half-year (f = 0.5) க்கு, A₁ மீது Simple Interest கணக்கிடுதல்: SI = A₁ × R × f / 100 = 12,960 × 8% × 0.5 = 12,960 × 0.04 = ₹518.40.

  3. Step C:

    A_total = 12,960 + 518.40 = ₹13,478.40 → CI = 13,478.40 - 12,000 = ₹1,478.40.

  4. Note:

    இந்த textbook/exam convention (முழு periods க்கு compound செய்து, மீதமுள்ள fraction க்கு SI பயன்படுத்துதல்) பல curricula இல் பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது pure fractional-exponent method ஐ விட சற்றே மாறுபட்ட numeric result தரும்.

Quick Variations

1. Annual compounding + fractional years → exponent T (mathematical) அல்லது textbook convention (முழு years compound + மீதமுள்ள fraction க்கு SI).

2. Half-yearly / quarterly → nT integer ஆக இருந்தால் direct formula பயன்படுத்தவும்; nT non-integer ஆக இருந்தால் curriculum convention ஐ பின்பற்றவும் (question explicitly fractional exponent கேட்காவிட்டால்).

3. Compounding frequency அதிகமாகவும் time fractional ஆகவும் இருந்தால், exam instruction வேறு எதுவும் சொல்லாவிட்டால் mathematical fractional-exponent method அதிக precision தரும்.

Trick to Always Use

  • Step 1: r_per = R / (100 × n) மற்றும் total periods = nT கணக்கிடுங்கள்.
  • Step 2: Total periods integer என்றால் → A = P × (1 + r_per)^{nT} (direct ஆக பயன்படுத்துங்கள்).
  • Step 3: Total periods fractional மற்றும் problem mathematical என்றால் → fractional exponent ஐ நேரடியாக பயன்படுத்தலாம்: A = P × (1 + r_per)^{nT}.
  • Step 4: Total periods fractional மற்றும் exam/textbook discrete compounding எதிர்பார்த்தால் → integer periods வரை compound செய்து, அதன் பின் மீதமுள்ள fractional period க்கு simple interest பயன்படுத்துங்கள்.

Summary

Summary

  • General formula: A = P × (1 + R/(100×n))^(nT) → CI = A - P.
  • Annual compounding + fractional years: exponent T (mathematical). Textbook convention: முழு years compound செய்து, மீதமுள்ள fraction க்கு SI.
  • Half-yearly/quarterly: r_per = R/n மற்றும் total periods = nT - nT integer என்றால் direct compounding; இல்லையெனில் instruction/convention பின்பற்றவும்.
  • சந்தேகம் இருந்தால், எந்த method பயன்படுத்துகிறீர்கள் (mathematical fractional exponent அல்லது textbook discrete-period + SI) என்பதை தெளிவாக குறிப்பிடுங்கள்.

Practice

(1/5)
1. Find the compound interest on ₹14,000 at 7% per annum for 1.5 years (compounded annually).
easy
A. ₹1,495.43
B. ₹1,500.00
C. ₹1,512.68
D. ₹1,506.00

Solution

  1. Step 1: Identify values

    Identify values: P = ₹14,000; R = 7% p.a.; T = 1.5 years; n = 1 (annual).

  2. Step 2: Set up fractional-exponent formula

    Apply fractional-exponent formula: A = P × (1 + R/100)^T = 14,000 × (1.07)^{1.5}.

  3. Step 3: Compute A using the fractional exponent

    Compute: (1.07)^{1.5} = 1.07 × √1.07 ≈ 1.1068179 → A ≈ 14,000 × 1.1068179 = ₹15,495.43.

  4. Step 4: Subtract principal to get CI

    CI = A - P = 15,495.43 - 14,000 = ₹1,495.43.

  5. Final Answer:

    ₹1,495.43 → Option A.

  6. Quick Check:

    1.5 years growth ≈ 10.68% → 14,000 × 0.1068 ≈ 1,495 ✅
Hint: Use A = P(1 + R/100)^T for fractional annual years.
Common Mistakes: Using simple interest for the fractional part instead of fractional-exponent compounding.
2. Find the amount on ₹10,000 at 10% per annum for 1.5 years, compounded half-yearly.
easy
A. ₹11,550.00
B. ₹11,576.25
C. ₹11,600.00
D. ₹11,500.10

Solution

  1. Step 1: Identify values

    Identify values: P = ₹10,000; R = 10% p.a.; T = 1.5 years; n = 2 (half-yearly).

  2. Step 2: Convert to per-period rate and total periods

    Rate per half-year r = R/(100×n) = 0.10/2 = 0.05; total periods = nT = 2 × 1.5 = 3.

  3. Step 3: Apply per-period compounding formula

    Apply formula: A = 10,000 × (1 + 0.05)^3 = 10,000 × 1.157625 = ₹11,576.25.

  4. Step 4: (Optional) Compute CI

    CI = A - P = 11,576.25 - 10,000 = ₹1,576.25.

  5. Final Answer:

    ₹11,576.25 → Option B.

  6. Quick Check:

    Half-year steps: 10,000 → 10,500 → 11,025 → 11,576.25 ✅
Hint: Convert annual rate to per-period (R/2) and use (1 + r)^{periods}.
Common Mistakes: Using annual 10% for each half-year period instead of 5% per half-year.
3. Find the compound interest on ₹8,000 at 8% p.a. for 0.75 years, compounded quarterly.
easy
A. ₹489.66
B. ₹480.33
C. ₹500.66
D. ₹495.33

Solution

  1. Step 1: Identify values

    Identify values: P = ₹8,000; R = 8% p.a.; T = 0.75 years; n = 4 (quarterly).

  2. Step 2: Compute per-period rate and number of periods

    Rate per quarter r = R/(100×n) = 0.08/4 = 0.02; total quarters = nT = 4 × 0.75 = 3.

  3. Step 3: Apply quarterly compounding

    A = 8,000 × (1.02)^3 = 8,000 × 1.061208 = ₹8,489.66.

  4. Step 4: Subtract principal to get CI

    CI = A - P = 8,489.66 - 8,000 = ₹489.66.

  5. Final Answer:

    ₹489.66 → Option A.

  6. Quick Check:

    Three quarters at 2% each ≈ 6.1208% total → 8,000 × 0.061208 ≈ 489.66 ✅
Hint: Compute periods = 4T and use r = R/400 for quarterly compounding.
Common Mistakes: Mistaking 0.75 years for a full year or using annual rate directly.
4. Find the compound interest on ₹50,000 at 6% p.a. for 2.25 years (compounded annually).
medium
A. ₹6,000.00
B. ₹7,100.00
C. ₹7,004.38
D. ₹7,013.25

Solution

  1. Step 1: Identify values

    Identify values: P = ₹50,000; R = 6% p.a.; T = 2.25 years; n = 1 (annual).

  2. Step 2: Set up fractional-exponent compounding

    Apply fractional-exponent formula: A = 50,000 × (1.06)^{2.25}.

  3. Step 3: Compute A and CI

    A ≈ 50,000 × 1.1400875336 = ₹57,004.38 → CI = A - P = 57,004.38 - 50,000 = ₹7,004.38.

  4. Final Answer:

    ₹7,004.38 → Option C.

  5. Quick Check:

    Approximately 14.01% growth over 2.25 years → 50,000 × 0.14009 ≈ 7,004 ✅
Hint: Use A = P(1 + R/100)^T for fractional-year exponents.
Common Mistakes: Switching to SI for fractional part when fractional-exponent compounding is required.
5. Find the compound interest on ₹15,000 at 9% p.a. for 1.25 years, compounded half-yearly.
medium
A. ₹1,720.28
B. ₹1,750.44
C. ₹1,740.67
D. ₹1,744.88

Solution

  1. Step 1: Identify values

    Identify values: P = ₹15,000; R = 9% p.a.; T = 1.25 years; n = 2 (half-yearly).

  2. Step 2: Compute half-year rate and total periods

    Rate per half-year r = R/(100×n) = 0.09/2 = 0.045; total periods = nT = 2 × 1.25 = 2.5.

  3. Step 3: Apply per-period compounding with fractional periods

    Apply fractional-exponent formula: A = 15,000 × (1.045)^{2.5} ≈ 15,000 × 1.1163251935 = ₹16,744.88.

  4. Step 4: Subtract principal to get CI

    CI = A - P = 16,744.88 - 15,000 = ₹1,744.88.

  5. Final Answer:

    ₹1,744.88 → Option D.

  6. Quick Check:

    Total growth ≈ 11.63% → 15,000 × 0.11643 ≈ 1,744.88 ✅
Hint: Use r = R/(100n) and A = P(1 + r)^{nT} even when nT is fractional.
Common Mistakes: Converting only whole periods and applying SI to remaining fraction when fractional-exponent is intended.

Mock Test

Ready for a challenge?

Take a 10-minute AI-powered test with 10 questions (Easy-Medium-Hard mix) and get instant SWOT analysis of your performance!

10 Questions
5 Minutes