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Simple Arithmetic Progression (AP Series)

Introduction

Arithmetic Progression (AP) शृंखलाएँ aptitude परीक्षाओं में सबसे सामान्य संख्या-शृंखला पैटर्नों में से हैं। ये महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ये आपको स्थिर, रैखिक परिवर्तन पहचानना सिखाती हैं - एक ऐसी क्षमता जो परीक्षाओं के दौरान जल्दी से साधारण रुझान पकड़ने में मदद करती है।

Pattern: Simple Arithmetic Progression (AP Series)

Pattern

मुख्य विचार: एक Arithmetic Progression (AP) में हर पद एक निश्चित स्थिर मान - जिसे common difference (d) कहा जाता है - से बढ़ता या घटता है।

ऐसी शृंखला में, यदि पहला पद a1 है और सामान्य अंतर d है, तो हर पद को बार-बार d जोड़कर (या घटाकर) प्राप्त किया जा सकता है।

General Form of an AP:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, …

Formulas to Remember:
• n-th term: an = a1 + (n - 1) × d
• Common difference: d = a2 - a1
• Sum of first n terms: Sn = n/2 × [2a1 + (n - 1)d]
• (Alternate form) Sn = n/2 × (a1 + an)

मुख्य टिप्पणियाँ:
• यदि d > 0, तो शृंखला बढ़ती है।
• यदि d < 0, तो शृंखला घटती है।
• यदि d = 0, तो सभी पद समान होते हैं (स्थिर शृंखला)।
• जहाँ भी अंतर समान बना रहता है, वह रैखिक पैटर्न AP है।

Step-by-Step Example

Question

निम्न शृंखला का अगला पद क्या है: 2, 5, 8, 11, 14, ?

Solution

  1. Step 1: लगातार अंतर निकालें

    5 - 2 = 3, 8 - 5 = 3, 11 - 8 = 3, 14 - 11 = 3.

  2. Step 2: सामान्य अंतर पहचानें

    चूँकि सभी लगातार अंतर = 3, अतः सामान्य अंतर d = 3 है। इससे पुष्टि होती है कि यह एक AP है।

  3. Step 3: n-th term का नियम लागू करें या अंतिम पद में d जोड़ें

    अगला पद = अंतिम पद + d = 14 + 3 = 17।

  4. Final Answer:

    17

  5. Quick Check:

    अंतर की पुष्टि: (17 - 14) = 3 ✅ - अंतर स्थिर है, शृंखला AP है।

Quick Variations

1. घटती AP: पद एक निश्चित संख्या से घटते हैं (उदा., 50, 45, 40, 35 → d = -5).

2. अपरिमेय d वाली AP: सामान्य अंतर भिन्न हो सकता है (उदा., 1.5, 2.25, 3.0 → d = 0.75).

3. लंबी शृंखलाओं में छिपी हुई AP: कभी-कभी AP हर 2रे या 3रे पद पर दिखाई देती है (a_subseries निकालें)।

Trick to Always Use

  • पहले लगातार दो-तीन अंतर जल्दी से निकालें।
  • यदि अंतर समान हैं, तो Next = Last + d का उपयोग करें; अगर नहीं, तो alternating sub-series या higher-order differences देखें।

Summary

Summary

  • दो लगातार पदों को घटाकर सामान्य अंतर (d) पहचानें।
  • यदि d स्थिर है, तो शृंखला AP है और अगला पद = अंतिम पद + d (या an = a1 + (n - 1)d) होगा।
  • घटती AP में d नकारात्मक होगा - वही नियम लागू करें (यानी संख्यात्मक रूप से घटाना)।
  • यदि अंतर समान नहीं हैं, तो उप-श्रृंखला में विभाजित करें या higher-order अंतर जाँचें।

याद रखने के लिए उदाहरण:
शृंखला: 3, 7, 11, 15 → d = 4 → अगला = 19

Practice

(1/5)
1. Find the next number in the series: 4, 8, 12, 16, ?
easy
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24

Solution

  1. Step 1: Identify the difference

    8 - 4 = 4, 12 - 8 = 4, 16 - 12 = 4 → constant difference d = 4.

  2. Step 2: Apply AP rule

    Next term = Last term + d = 16 + 4 = 20.

  3. Final Answer:

    20 → Option B

  4. Quick Check:

    All terms differ by 4 → consistent AP ✅
Hint: Check for constant addition or subtraction between terms.
Common Mistakes: Adding a different number assuming pattern changes.
2. Find the missing term: 10, 15, 20, 25, ?
easy
A. 30
B. 32
C. 35
D. 28

Solution

  1. Step 1: Identify difference

    15 - 10 = 5, 20 - 15 = 5, 25 - 20 = 5.

  2. Step 2: Apply AP formula

    Next term = Last + d = 25 + 5 = 30.

  3. Final Answer:

    30 → Option A

  4. Quick Check:

    All differences are 5 → correct AP ✅
Hint: When differences are same, just add once more to get next term.
Common Mistakes: Adding variable gaps instead of constant difference.
3. Find the next term: 50, 45, 40, 35, ?
easy
A. 25
B. 30
C. 32
D. 28

Solution

  1. Step 1: Compute differences

    45 - 50 = -5, 40 - 45 = -5, 35 - 40 = -5 → constant d = -5.

  2. Step 2: Apply AP rule

    Next term = 35 + (-5) = 30.

  3. Final Answer:

    30 → Option B

  4. Quick Check:

    All terms reduce by 5 → correct AP ✅
Hint: Negative difference means decreasing AP - subtract constant difference.
Common Mistakes: Adding instead of subtracting when the sequence is decreasing.
4. Find the next number: 7, 14, 21, 28, ?
medium
A. 32
B. 33
C. 35
D. 36

Solution

  1. Step 1: Find difference

    14 - 7 = 7, 21 - 14 = 7, 28 - 21 = 7 → constant difference d = 7.

  2. Step 2: Apply AP formula

    Next term = 28 + 7 = 35.

  3. Final Answer:

    35 → Option C

  4. Quick Check:

    Each term increases by 7 → correct AP ✅
Hint: Always check first two differences; if same, continue pattern.
Common Mistakes: Assuming multiplication instead of addition in simple AP.
5. Find the missing term: 3, 9, 15, 21, ?
medium
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28

Solution

  1. Step 1: Find difference

    9 - 3 = 6, 15 - 9 = 6, 21 - 15 = 6 → constant d = 6.

  2. Step 2: Apply AP rule

    Next term = 21 + 6 = 27.

  3. Final Answer:

    27 → Option C

  4. Quick Check:

    All differences = 6 → correct AP ✅
Hint: Once difference found, keep adding same value - simple AP logic.
Common Mistakes: Overthinking - no complex pattern, only constant addition.

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