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Alternating Pattern Series

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Introduction

एक Alternating Pattern Series में दो या अधिक इंटरलीव्ड (एक-दूसरे में मिले हुए) सब-सीक्वेंस होते हैं, हर एक अपनी अलग नियमावली का पालन करता है। यह पैटर्न reasoning टेस्टों में अक्सर आता है जहाँ विषम/सम पद (या समूहबद्ध पद) स्वतंत्र उप-शृंखलाएँ बनाते हैं और इन्हें अलग-अलग विश्लेषित करना पड़ता है।

शृंखला को सही तरीके से अलग करके प्रत्येक उप-शृंखला हल करना ही अगला या गुम शब्द सही ढंग से निकालने की कुंजियाँ हैं।

Pattern: Alternating Pattern Series

Pattern: Alternating Pattern Series

मुख्य विचार: विभिन्न सूचियाँ (odd/even या समूहित इन्डेक्स) अलग नियमों का पालन करती हैं - हर एक को अलग शृंखला की तरह मान कर हल करें और फिर उन्हें दोबारा जोड़ें।

Formula:
यदि शृंखला दो arithmetic progressions के बीच alternating करती है:
aodd,n = a1 + (n - 1)·d1
aeven,n = a2 + (n - 1)·d2
जहाँ d1 और d2 विषम और सम पदों के सामान्य अंतर हैं।

Tip: श्रृंखला को पदानुक्रम से अलग करें (1st, 3rd, 5th → उप-शृंखला A; 2nd, 4th, 6th → उप-शृंखला B), फिर हर उप-शृंखला को स्वतंत्र रूप से हल करें।

Step-by-Step Example

Question

इस शृंखला में अगला पद क्या है: 2, 4, 3, 6, 4, 8, 5, ?

Solution

  1. Step 1: शृंखला को उप-शृंखलाओं में बाँटें

    विषम-पद (1st, 3rd, 5th, 7th): 2, 3, 4, 5।
    सम-पद (2nd, 4th, 6th, 8th): 4, 6, 8, ?।

  2. Step 2: प्रत्येक उप-शृंखला का पैटर्न पहचानें

    विषम उप-शृंखला: 2 → 3 → 4 → 5 → अंतर = +1 (यह एक AP है जहाँ d₁ = 1)।
    सम उप-शृंखला: 4 → 6 → 8 → ? → अंतर = +2 (यह दूसरी AP है जहाँ d₂ = 2)।

  3. Step 3: नियम लागू करके अगला पद निकालें

    सम उप-शृंखला में अगला पद = 8 + 2 = 10।
    चूँकि गुम पद 8वीं स्थिति पर है (even), इसका मान सम उप-शृंखला से लिया जाएगा।

  4. Final Answer:

    10

  5. Quick Check:

    विषम पद: 2, 3, 4, 5 (↑ +1). सम पद: 4, 6, 8, 10 (↑ +2). संयुक्त शृंखला: 2,4,3,6,4,8,5,10 ✅

Quick Variations

1. Two APs: विषम और सम दोनों ही arithmetic पर हैं पर अलग d रखते हैं (ऊपर का उदाहरण)।

2. AP & GP mix: एक उप-शृंखला अंकगणितीय, दूसरी गुणात्मक हो सकती है (उदा., odd: +2, even: ×2)।

3. Three-way interleave: पद 1,4,7... नियम A; 2,5,8... नियम B; 3,6,9... नियम C का पालन करते हैं।

4. Alternating transforms: एक उप-शृंखला n² हो सकती है और दूसरी n³ या n² ± 1 जैसी भिन्नता।

Trick to Always Use

  • Step 1: श्रृंखला को पद के अनुसार अलग करें (odd/even या समूह)।
  • Step 2: प्रत्येक उप-शृंखला में नियम पहचानें (AP, GP, n² इत्यादि)।
  • Step 3: जो गुम पद की स्थिति है, उसी उप-शृंखला का अगला मान निकालें और उसे वापस मुख्य शृंखला में रखें।

Summary

  • Alternating शृंखलाएँ कई स्वतंत्र नियम छुपाती हैं - हमेशा पहले इंडेक्स द्वारा अलग करें।
  • प्रत्येक उप-शृंखला को AP/GP या अन्य ज्ञात पैटर्न से अलग से हल करें।
  • जो पद missing है, उसके लिए सही उप-शृंखला का नियम लागू करें।
  • हल करने के बाद दोनों (या सारे) उप-शृंखलाओं को जाँच कर पैटर्न की सुसंगतता सुनिश्चित करें।

याद रखने के लिए उदाहरण:
3, 6, 5, 10, 7, 14, ? → विषम पद +2; सम पद +4 → Next = 9

Practice

(1/5)
1. Find the next term in the series: 1, 3, 2, 6, 3, 9, 4, ?
easy
A. 12
B. 11
C. 13
D. 14

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 1, 2, 3, 4. Even-position terms: 3, 6, 9, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series increases by +1. Even sub-series increases by +3 (3 → 6 → 9).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 9 + 3 = 12. The missing term is at the 8th (even) position, so answer = 12.

  4. Final Answer:

    12 → Option A

  5. Quick Check:

    Odd: 1,2,3,4 (+1); Even: 3,6,9,12 (+3) → Combined sequence holds ✅
Hint: Split into odd/even positions and check small constant steps (+1, +2, +3...).
Common Mistakes: Trying to apply a single rule to the whole sequence instead of splitting.
2. Find the next term in the series: 4, 7, 5, 8, 6, 9, 7, ?
easy
A. 10
B. 9
C. 11
D. 12

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 4, 5, 6, 7. Even-position terms: 7, 8, 9, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: +1 each time. Even sub-series: +1 each time.

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 9 + 1 = 10. The missing term is 8th (even), so answer = 10.

  4. Final Answer:

    10 → Option A

  5. Quick Check:

    Odd: 4,5,6,7; Even: 7,8,9,10 → Combined holds ✅
Hint: When both sub-series use the same small increment, extension is straightforward by parity.
Common Mistakes: Overcomplicating with alternate multipliers when simple +1 works.
3. Find the next term in the series: 10, 2, 11, 4, 12, 6, 13, ?
easy
A. 7
B. 8
C. 9
D. 14

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 10, 11, 12, 13. Even-position terms: 2, 4, 6, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: +1 each time. Even sub-series: +2 each time (2 → 4 → 6).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 6 + 2 = 8. The missing term is 8th (even), so answer = 8.

  4. Final Answer:

    8 → Option B

  5. Quick Check:

    Odd: 10,11,12,13; Even: 2,4,6,8 → Combined holds ✅
Hint: Label odd/even subsequences and look for simple +1/+2 patterns.
Common Mistakes: Mixing values across sub-series when predicting the next term.
4. Find the next term in the series: 3, 6, 5, 10, 7, 14, 9, ?
medium
A. 15
B. 16
C. 18
D. 20

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 3, 5, 7, 9. Even-position terms: 6, 10, 14, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: increases by +2. Even sub-series: increases by +4 (6 → 10 → 14).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 14 + 4 = 18. The missing term is 8th (even), so answer = 18.

  4. Final Answer:

    18 → Option C

  5. Quick Check:

    Odd: 3,5,7,9 (+2); Even: 6,10,14,18 (+4) → Combined holds ✅
Hint: When gaps differ (e.g., +2 vs +4), label sub-series and extend the correct one by index.
Common Mistakes: Assuming a single uniform gap for the entire series.
5. Find the next term in the series: 7, 14, 8, 16, 9, 18, 10, ?
medium
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22

Solution

  1. Step 1: Split into sub-series

    Odd-position terms: 7, 8, 9, 10. Even-position terms: 14, 16, 18, ?.

  2. Step 2: Identify patterns

    Odd sub-series: +1 each time. Even sub-series: +2 each time (14 → 16 → 18).

  3. Step 3: Apply the rule

    Next even-term = 18 + 2 = 20. The missing term is 8th (even), so answer = 20.

  4. Final Answer:

    20 → Option B

  5. Quick Check:

    Odd: 7,8,9,10 (+1); Even: 14,16,18,20 (+2) → Combined holds ✅
Hint: Always check which sub-series the missing index belongs to before calculating.
Common Mistakes: Swapping odd and even subsequences or mixing their rules.