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Fibonacci Type Series

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Introduction

एक Fibonacci Type Series में, हर नया नंबर पिछले एक या दो नंबरों को जोड़कर (या कभी-कभी मिलाकर) बनाया जाता है। यह पैटर्न उन अनुक्रमों को पहचानने की आपकी क्षमता की जाँच करता है जहाँ हर पद पिछले पदों पर निर्भर करता है।

सबसे सामान्य Fibonacci पैटर्न तब होता है जब प्रत्येक पद पिछले दो पदों के योग के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - हर पद पिछले दो संख्याओं के योग के बराबर है।

Pattern: Fibonacci Type Series

Pattern: Fibonacci Type Series

मुख्य विचार: हर संख्या पिछले एक या दो नंबरों को जोड़कर प्राप्त की जाती है।

सामान्य Fibonacci पैटर्न में:

Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂
उदाहरण: अगर अंतिम दो संख्याएँ 3 और 5 हैं, तो अगला पद = 3 + 5 = 8.

उन्नत विविधताओं में, अगला पद निम्न से आ सकता है:

  • पिछले तीन नंबरों को जोड़ना (Tribonacci प्रकार)
  • बारी-बारी जोड़ना और घटाना
  • या किसी पद को गुणा करके फिर कोई स्थिर मान जोड़ना

लक्ष्य एक सुसंगत नियम खोजना है जो हर नए पद को एक या अधिक पिछले पदों से जोड़ता हो।

Step-by-Step Example

Question

श्रृंखला में अगला पद क्या है: 2, 3, 5, 8, 13, ?

Solution

  1. Step 1: हाल के पद देखें

    आखिरी दो संख्याओं को देखें: 8 और 13.

  2. Step 2: पैटर्न पहचानें

    जाँच करें कि क्या हर पद पिछले दो का योग है:
    2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13.
    नियम यह है: Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂.

  3. Step 3: नियम लागू करें

    अगला पद = 8 + 13 = 21.

  4. Final Answer:

    21

  5. Quick Check:

    पिछले चरण सत्यापित करें: 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13=21 ✅

Quick Variations

1. Standard Fibonacci: पिछले दो संख्याओं का योग।

2. Tribonacci: पिछले तीन संख्याओं का योग (उदा., 1, 2, 3, 6, 11, 20...).

3. Mixed Pattern: बारी-बारी जोड़ना और घटाना (उदा., +, -, +, -).

4. Multiplicative Mix: किसी पद को गुणा करके फिर एक कॉन्स्टेंट जोड़ना (उदा., ×2 + 3).

5. Offset Pattern: पहला और तीसरा पिछले पद जोड़ना (उदा., Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₃).

Trick to Always Use

  • Step 1 → जाँचें कि क्या वर्तमान संख्या पिछली दो का योग है।
  • Step 2 → अगर नहीं, तो पिछले तीन नंबरों (Tribonacci) का योग आज़माएँ।
  • Step 3 → बारी-बारी जोड़ने/घटाने या छोटे स्थिर मानों के जोड़े की संभावना देखें।
  • Step 4 → नियम को अंतिम निर्णय से पहले कई पदों पर हमेशा सत्यापित करें।

Summary

  • Fibonacci श्रृंखला → अगला पद = पिछले दो का योग।
  • Tribonacci या ऊँचा → अगला पद = पिछले 3 या अधिक पदों का योग।
  • कुछ वेरिएंट्स में वैकल्पिक जोड़/घटाव या गुणा शामिल होता है।
  • हमेशा सुनिश्चित करें कि नियम सभी पदों में एकसमान रूप से काम कर रहा है।

याद रखने के लिए उदाहरण: 2, 3, 5, 8, 13, 21 → हर पद = उससे पहले के दो का योग।

Practice

(1/5)
1. Find the missing term: ?, 2, 3, 5, 8
easy
A. 1
B. 0
C. 4
D. 2

Solution

  1. Step 1: Look at the known terms

    Sequence (from second term): 2, 3, 5, 8.

  2. Step 2: Use reverse Fibonacci

    If Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ then earlier term = later - previous. So missing = 3 - 2 = 1.

  3. Final Answer:

    1 → Option A

  4. Quick Check:

    1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 ✅
Hint: Work backward: subtract to find the earlier term.
Common Mistakes: Trying to add forward instead of subtracting for missing earlier term.
2. Find the next term: 2, 3, 6, 10, 17, ?
easy
A. 26
B. 28
C. 30
D. 29

Solution

  1. Step 1: Test a modified Fibonacci rule

    Check if Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ + 1.

  2. Step 2: Verify initial steps

    2+3+1=6, 3+6+1=10, 6+10+1=17 - rule holds.

  3. Step 3: Compute next term

    Next = 10 + 17 + 1 = 28.

  4. Final Answer:

    28 → Option B

  5. Quick Check:

    Sequence: 2,3,6,10,17,28 → each term = prev + one-before-prev + 1 ✅
Hint: When sums are slightly larger than plain Fibonacci, check for a constant +1/+2 offset.
Common Mistakes: Assuming pure Fibonacci without the small constant offset.
3. Find the next term: 4, 6, 10, 16, 26, ?
easy
A. 40
B. 41
C. 42
D. 43

Solution

  1. Step 1: Test classic Fibonacci addition

    Check whether each term = sum of the previous two.

  2. Step 2: Verify

    4+6=10, 6+10=16, 10+16=26 - rule holds.

  3. Step 3: Compute next

    Next = 16 + 26 = 42.

  4. Final Answer:

    42 → Option C

  5. Quick Check:

    4,6,10,16,26,42 - simple Fibonacci-type addition ✅
Hint: If differences grow, try adding the last two terms.
Common Mistakes: Looking for constant differences instead of summing.
4. Find the next term: 1, 2, 3, 6, 9, 16, ?
medium
A. 25
B. 24
C. 26
D. 27

Solution

  1. Step 1: Identify alternating rule

    Here odd-index terms follow Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂, while even-index terms use Tₙ = Tₙ₋₁ + Tₙ₋₂ + 1.

  2. Step 2: Verify

    1+2=3 (odd), 2+3+1=6 (even), 3+6=9 (odd), 6+9+1=16 (even) - pattern holds.

    3. Step 3: Compute next (odd index)

    Next = 9 + 16 = 25.

  3. Final Answer:

    25 → Option A

  4. Quick Check:

    1,2,3,6,9,16,25 → alternation of +0/+1 offset verified ✅
Hint: Check for alternating small offsets on even/odd positions.
Common Mistakes: Assuming a single uniform rule for all positions.
5. Find the next term: 2, 3, 7, 13, 27, 53, ?
medium
A. 100
B. 101
C. 102
D. 107

Solution

  1. Step 1: Test a multiplicative blend rule

    Try Tₙ = Tₙ₋₁ + 2×Tₙ₋₂.

  2. Step 2: Verify

    2 and 3 → 3 + 2×2 = 7, 7 + 2×3 = 13, 13 + 2×7 = 27, 27 + 2×13 = 53 - rule holds.

  3. Step 3: Compute next

    Next = 53 + 2×27 = 53 + 54 = 107.

  4. Final Answer:

    107 → Option D

  5. Quick Check:

    Sequence: 2,3,7,13,27,53,107 - each term = previous + 2×one-before-prev ✅
Hint: If sums grow faster than Fibonacci, try small multiplicative blends (e.g., +2×previous-2).
Common Mistakes: Forcing pure Fibonacci when growth suggests multiplication.