Introduction
Geometric Progression (GP) एक बुनियादी संख्या-श्रृंखला पैटर्न है जहाँ हर पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या से गुणा या भाग करके मिलता है। GP पैटर्न पहचानने से आप अनुपात-आधारित और वृद्धि प्रकार की शृंखलाओं को जल्दी हल कर सकते हैं - जो Reasoning और Quantitative दोनों सेक्शनों में बहुत काम आती हैं।
Pattern: Geometric Progression (GP Series)
Pattern
मुख्य विचार: प्रत्येक पद पिछले पद को एक निश्चित स्थिर गुणांक से गुणा (या भाग) करके प्राप्त होता है - इसे common ratio (r) कहते हैं।
यदि पहला पद a1 है और सामान्य अनुपात r है, तो शृंखला इस तरह होगी:
a1, a1×r, a1×r², a1×r³, …
Formulas to Remember:
• n-th term: an = a1 × rn-1
• Common ratio: r = a2 ÷ a1
• Sum of first n terms: Sn = a1 × (rn - 1) ÷ (r - 1) (जब r ≠ 1)
• यदि |r| < 1 और n → ∞, तो Sum to infinity: S = a1 ÷ (1 - r)
मुख्य नोट्स:
• यदि r > 1, शृंखला तेज़ी से बढ़ेगी (growth pattern)।
• यदि 0 < r < 1, शृंखला धीरे-धीरे घटेगी।
• यदि r = 1, तो सभी पद समान होंगे (constant series)।
• यदि r नकारात्मक है, तो पदों के चिन्ह बदलते रहेंगे (positive ↔ negative)।
Step-by-Step Example
Question
निम्न शृंखला का अगला पद क्या है: 3, 6, 12, 24, ?
Solution
-
Step 1: सामान्य अनुपात (r) पहचानें
हर पद को उसके पिछले पद से भाग करें: 6 ÷ 3 = 2, 12 ÷ 6 = 2, 24 ÷ 12 = 2 → सामान्य अनुपात r = 2। -
Step 2: GP नियम लागू करें
अगला पद = अंतिम पद × r = 24 × 2 = 48। -
Final Answer:
48 -
Quick Check:
हर पद पिछले का दुगना है: 3 → 6 → 12 → 24 → 48 ✅
Quick Variations
1. घटती GP: पद किसी स्थिर से भाग होते हैं (उदा., 128, 64, 32 → r = 1/2)।
2. Alternating GP: अनुपात नकारात्मक हो (उदा., 2, -4, 8, -16 → r = -2)।
3. Fractional GP: पद शून्य की ओर सिकुड़ते हैं (उदा., 81, 27, 9, 3 → r = 1/3)।
4. कुछ एडवांस पैटर्न में GP और AP साथ मिलकर आते हैं - ये जटिल उदाहरण होते हैं।
Trick to Always Use
- लगातार पदों को भाग करके देखें - यदि अनुपात स्थिर है तो यह GP है।
- अगला पद पाने के लिए अंतिम पद को अनुपात (r) से गुणा करें।
- यदि अनुपात का चिन्ह बदलता है तो नए पद का चिन्ह भी बदल जाएगा - इसका ध्यान रखें।
Summary
Summary
- पदों के बीच लगातार गुणा/भाग पहचानें - यही अनुपात (r) है।
- अगला पद = पिछला पद × r।
- n-th term के लिए:
an = a1 × rn-1का उपयोग करें। - terms का योग निकालने के लिए
Sn = a1 × (rn - 1)/(r - 1)का प्रयोग करें।
याद रखने के लिए उदाहरण:
शृंखला: 2, 4, 8, 16 → r = 2 → अगला = 32
Hint: Divide two consecutive terms - if constant, multiply last term by that ratio.
Common Mistakes: Adding instead of multiplying when ratio pattern is clear.