Introduction
Conditional Probability किसी event के होने की probability को measure करता है जब यह पता हो कि कोई दूसरा event पहले ही हो चुका है। यह probability का एक बहुत महत्वपूर्ण concept है और real-world contexts जैसे weather forecasting, quality control और risk analysis में उपयोग होता है।
मुख्य विचार यह है कि sample space को restrict किया जाता है - केवल वही outcomes consider किए जाते हैं जिनमें पहला event हो चुका हो, और उसी narrowed-down space में दूसरा event evaluate किया जाता है।
Pattern: Conditional Probability
Pattern
Event B की probability, यह जानते हुए कि event A हो चुका है, इस प्रकार दी जाती है:
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
यह formula किसी ऐसे event की probability निकालने में मदद करता है
जिसकी calculation दूसरे related event के already हो जाने पर dependent होती है।
Step-by-Step Example
Question
52 cards की standard deck से एक card निकाला जाता है। Probability बताएं कि वह King हो, यह जानते हुए कि वह एक face card है।
Solution
-
Step 1: Known information पहचानें
Total cards = 52. Face cards = {J, Q, K} चारों suits से → कुल 12 face cards। -
Step 2: Favourable cases पहचानें
Face cards में Kings = 4 (प्रत्येक suit में एक King)। -
Step 3: Conditional probability formula apply करें
P(King | Face card) = P(King ∩ Face card) ÷ P(Face card) = (4/52) ÷ (12/52) = 4/12 = 1/3. -
Final Answer:
1/3. -
Quick Check:
12 face cards में से 4 Kings हैं → 4/12 = 1/3 ✅
Quick Variations
1. Face card होने की condition पर red card की probability।
2. Student के Math pass करने की probability, यह जानते हुए कि उसने Science pass किया है।
3. किसी specific machine से चुने गए item के defective होने की probability।
Trick to Always Use
- Step 1: Sample space को उस condition तक narrow करें जो “given” है।
- Step 2: Formula P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) का उपयोग करें।
- Step 3: “Given that” हमेशा नया denominator तय करता है - इस बात पर ध्यान दें।
Summary
Summary
Conditional Probability pattern में:
- Formula: P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A).
- “Given” event (A) नया sample space बन जाता है।
- यह तब उपयोग होता है जब events आपस में related हों; जरूरी नहीं कि वे independent हों।
- हमेशा सुनिश्चित करें कि P(A) ≠ 0 हो (impossible event पर condition नहीं लगा सकते)।
Hint: When given a suit, use only that suit's 13 cards as the denominator.
Common Mistakes: Using 52 as denominator instead of the conditional 13.