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Introduction
कई aptitude questions में लंबे expressions के अंदर simple squares, cubes या roots छिपे होते हैं। Perfect squares, perfect cubes और कहाँ square/cube roots लेने हैं यह पहचानने से आप जल्दी simplify कर सकते हैं और लंबी calculation से बच जाते हैं।
Pattern: Square & Cube Based Simplification
मुख्य idea: Perfect squares/cubes या root expressions को पहले पहचानें, उन्हें evaluate करें (या powers में बदलें), फिर बाकी arithmetic को step-by-step solve करें।
Step-by-Step Example
Question
Simplify: √144 + 5³ - 2²
Options:
- A) 120
- B) 128
- C) 133
- D) 140
Solution
-
Step 1: Perfect powers evaluate करें
√144 = 12 (क्योंकि 12×12 = 144), 5³ = 125 (5×5×5), 2² = 4. -
Step 2: Values को expression में रखें
Expression बनता है: 12 + 125 - 4. -
Step 3: Arithmetic करें
12 + 125 = 137; 137 - 4 = 133. -
Final Answer:
133 → Option C. -
Quick Check:
√144 ≈ 12, 125, 4 → 12 + 125 - 4 = 133 ✅
Quick Variations
1. Mixed: पहले roots और powers evaluate करें जैसे √81 + 2³ × 3.
2. Fractional powers: a^(1/2) = √a, a^(1/3) = ∛a - जब perfect हो तो evaluate करें।
3. Nested powers: (2²)³ = 2^(2×3) = 2⁶ - base repeat होने पर exponents multiply होते हैं।
4. Factorization से simplify करें: √(36×5) = 6√5 जब पूरी तरह root नहीं निकलता।
Trick to Always Use
- Step 1 → Perfect squares (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,...) और perfect cubes (1,8,27,64,125,...) को जल्दी identify करें।
- Step 2 → इन powers/roots को तुरंत evaluate करके expression छोटा करें, फिर arithmetic करें।
- Step 3 → Same base वाले exponents में rules लगाएँ: a^m × a^n = a^(m+n), (a^m)^n = a^(m×n).
Summary
Square & cube based simplification में:
- हमेशा perfect squares/cubes और exact roots को सबसे पहले evaluate करें।
- Repeated bases होने पर exponent rules का उपयोग करें।
- Roots को fractional exponents में बदलकर भी simplify किया जा सकता है (√ = ^1/2, ∛ = ^1/3).
- Quick-check के लिए roots और powers का approx निकालकर arithmetic verify करें।