Introduction
Geometric Progression (G.P.) एक ऐसी number sequence होती है जहाँ first term के बाद हर term पिछले term को एक fixed non-zero number से multiply करने पर मिलता है, जिसे common ratio (r) कहा जाता है। G.P. के nth term का formula जानने से किसी भी specific term को बिना पूरी सूची लिखे आसानी से निकाला जा सकता है।
Pattern: Geometric Progression (G.P.) – nth Term
Pattern
G.P. के nth term (Tₙ) का formula:
Tₙ = a × rⁿ⁻¹
जहाँ a = first term, r = common ratio और n = term number है।
Step-by-Step Example
Question
G.P. 2, 6, 18, 54, … का 7वाँ term निकालें।
Solution
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Step 1: a, r और n पहचानें
First term a = 2
Common ratio r = 6 ÷ 2 = 3
Required term n = 7 -
Step 2: nth term formula apply करें
T₇ = a × rⁿ⁻¹ = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458
-
Final Answer:
G.P. का 7वाँ term = 1458
-
Quick Check:
6th term = 486 → r से multiply करें → 486 × 3 = 1458 ✅
Quick Variations
1. r fraction हो सकता है → sequence decreasing G.P. बन जाती है।
2. अगर terms alternate sign में हों → r negative होगा।
3. दो terms दिए हों तो r find कर सकते हैं: r = (T₂ / T₁) या r = (Tₙ / Tₘ)^(1/(n-m))
Trick to Always Use
- Step 1: पहले r निकालें - consecutive terms से सबसे आसान।
- Step 2: Formula Tₙ = a × rⁿ⁻¹ में exponent बहुत ध्यान से लिखें-गलतियाँ यहीं होती हैं।
Summary
Summary
G.P. में:
- Consecutive terms का ratio constant होता है।
- nth term का formula: Tₙ = a × rⁿ⁻¹.
- r > 1 हो तो sequence तेजी से बढ़ती है; 0 < r < 1 हो तो sequence घटती है।
- Alternate sign वाली series में r negative होता है।
Hint: Multiply the first term by rⁿ⁻¹ directly.
Common Mistakes: Using n instead of (n-1) in the exponent.