Introduction
Divisibility rules हमें यह check करने में मदद करती हैं कि कोई number दूसरे number से divisible है या नहीं, वो भी long division किए बिना। ये shortcuts aptitude problems को जल्दी solve करने में बहुत useful होती हैं, खासकर बड़े numbers के साथ।
Pattern: Divisibility Rules
Pattern
Divisibility rules simple checks होती हैं (digits या digit sum पर आधारित) जिनसे हम decide कर सकते हैं कि कोई number दूसरे number से divisible है या नहीं।
- By 2: Last digit 0, 2, 4, 6, 8 (even) हो।
- By 3: Digits का sum 3 से divisible हो।
- By 4: Last two digits 4 से divisible हों।
- By 5: Last digit 0 या 5 हो।
- By 6: Number 2 और 3 दोनों से divisible हो।
- By 8: Last three digits 8 से divisible हों।
- By 9: Digits का sum 9 से divisible हो।
- By 10: Last digit 0 हो।
- By 11: (Odd places का sum - Even places का sum) 11 से divisible हो।
- By 12: Number 3 और 4 दोनों से divisible हो।
Step-by-Step Example
Question
Check करें कि 4,356 क्या 3, 4 और 11 से divisible है?
Solution
-
Step 1: Divisibility by 3:
Rule: Number divisible है 3 से अगर digits का sum 3 से divisible हो। Sum = 4 + 3 + 5 + 6 = 18 → 18, 3 से divisible है। ✅ इसलिए 4356, 3 से divisible है। -
Step 2: Divisibility by 4:
Rule: Number divisible है 4 से अगर उसकी last two digits 4 से divisible हों। Last two digits = 56 → 56 ÷ 4 = 14 (exact). ✅ इसलिए 4356, 4 से divisible है। -
Step 3: Divisibility by 11:
Rule: Number divisible है 11 से अगर odd और even place digits के sum का difference 11 से divisible हो। Odd place digits (left से): 4 + 5 = 9 Even place digits: 3 + 6 = 9 Difference = 9 - 9 = 0 → 11 से divisible। ✅ इसलिए 4356, 11 से divisible है। -
Final Answer:
4356, 3, 4 और 11 तीनों से divisible है। -
Quick Check:
4356 ÷ 3 = 1452, 4356 ÷ 4 = 1089, 4356 ÷ 11 = 396 → तीनों exact हैं। ✅
Quick Variations
1. Divisibility by 7 → Last digit को double करें और बाकी number से subtract करें। Result 7 से divisible होना चाहिए।
2. Divisibility by 13 → Repeated subtraction/addition rules patterns पर आधारित।
3. Combined divisibility tests (जैसे 15 → 3 और 5 दोनों check करें)।
Trick to Always Use
- Step 1: 3 और 9 के लिए digit sum rules use करें।
- Step 2: 4 और 8 के लिए last two/three digits देखें।
- Step 3: 11 के लिए alternating digit sum rule use करें।
- Step 4: Combined divisibility (जैसे 6, 12, 15) के लिए multiple rules साथ में check करें।
Summary
Summary
Divisibility Rules pattern में:
- Digit sum rules 3, 9 और 11 पर काम करते हैं।
- Last digit(s) rules 2, 4, 5, 8, 10 पर काम करते हैं।
- Combined divisibility 6, 12, 15 आदि के लिए लागू होती है।
- 7, 13, 17 जैसी numbers के लिए special rules होते हैं, पर exams में rare होते हैं।
Hint: Check last digit for 2, last two digits for 4, last three digits for 8.
Common Mistakes: Stopping after checking divisibility by 2 and not testing 4 or 8.