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Successive Replacement (Compound Type)

Introduction

Successive Replacement (Compound Type) समस्याओं में ऐसा क्रमिक चक्र होता है जहाँ mixture के हिस्से बार-बार निकालकर अलग-अलग पदार्थों से बदला जाता है - उदाहरण के लिए पहले A निकालकर B डाला जाता है, फिर B निकाला जाता है और C डाला जाता है, आदि।

यह pattern महत्वपूर्ण है क्योंकि ऐसे compound operations advanced dilution, alloy, और chemical-mixture वाले प्रश्नों में आते हैं। compound संरचना को पहचानकर आप stepwise प्रभावों को संक्षिप्त सूत्रों या सरल बार-बार गणनाओं में मिला सकते हैं।

Pattern: Successive Replacement (Compound Type)

Pattern

मुख्य विचार: प्रत्येक replacement को उस substance के बचे हुए हिस्से पर एक multiplier की तरह मानें। compound sequences के लिए हर operation को क्रमवार लागू करें (retained fractions को गुणा करें) और जो जोड़े गए हैं उन्हें अलग से ट्रैक करें।

पालन करने के चरण:
1. Total T से x litres निकालने पर उस component का removal के बाद बचा हिस्सा = (1 - x/T) होता है।
2. यदि अलग-अलग component क्रम से निकाले/डाले जा रहे हों, तो retained fraction को step-by-step निकालें और एक ही component के multiple removals के लिए retained fractions को गुणा करें।
3. जब कोई अलग पदार्थ जोड़ा जाता है (pure न हो), तो उसके pure-part contribution (added amount × concentration) को उपयुक्त चरण में numerator में जोड़ें।
4. सभी steps पूरे होने पर final amounts निकालें - retained original भाग और जो जोड़े गए contributions को जोड़कर; फिर final concentration या composition पाने के लिए total से विभाजित करें।

Step-by-Step Example

Question

एक 100-litre टैंक में शुद्ध दूध है। 20 litres निकाले जाते हैं और पानी से replace किया जाता है। फिर इस मिश्रण के 30 litres निकाले जाते हैं और उन्हें 50% दूध वाले समाधान से replace किया जाता है। टैंक में अंत में कितना दूध रहेगा, बताइए।

Solution

  1. Step 1: प्रारंभिक डेटा लिखें

    Total volume T = 100 L. आरम्भ में दूध = 100 L (pure milk)। पहला removal = 20 L (water से replace)। दूसरा removal = 30 L (50% milk solution से replace)।

  2. Step 2: पहले replacement के बाद (20 L निकालकर पानी डालना)

    20 L निकालने के बाद दूध का बचा हुआ भाग = (1 - 20/100) = 0.80. दूध शेष = 100 × 0.80 = 80 L. 20 L पानी जोड़ने पर total फिर भी 100 L रहता है।

  3. Step 3: दूसरे removal की तैयारी (अब मिश्रण: 80 L दूध + 20 L पानी)

    जब इस मिश्रण के 30 L निकाले जाते हैं, तो वे उस समय के मिश्रण के समान अनुपात में दूध ले जाते हैं: दूध का भाग = 80/100 = 0.80. निकले हुए दूध = 0.80 × 30 = 24 L. निकालने के बाद दूध बचता है = 80 - 24 = 56 L.

  4. Step 4: 30 L का 50% दूध वाला समाधान जोड़ना

    जोड़ा गया दूध = 0.50 × 30 = 15 L. नया कुल दूध = 56 + 15 = 71 L. कुल मात्रा = 100 L.

  5. Final Answer:

    compound operations के बाद टैंक में 71 litres of milk है।

  6. Quick Check:

    न्यूमेरिक ट्रीस-बाय-ट्री: शुरू 100 → पहले step के बाद दूध 80 → 30 L निकाले जाने पर 24 हटे → 56 → फिर 15 जोड़े → 71. सभी चरणों में total volume conserved है और दूध की मात्रा consistent है ✅

Quick Variations

1. x निकालकर pure Y जोड़ना, फिर y निकालकर pure Z जोड़ना - हर step को क्रम से करें और जोड़े गए pure parts जोड़ते जाएँ।

2. बार-बार वही fraction निकालकर अलग-अलग concentrations जोड़ना - उसी original component के लिए retained fraction को हर removal पर गुणा करें और अलग-अलग additions को अलग से जोड़ें।

3. जिस mixture से replace किया जा रहा हो उसकी known concentration के साथ replacement → added mixture को उसके pure-part के रूप में जोड़ें।

4. alloy problems में भी वही bookkeeping लागू होती है - पर वहाँ component ratios के साथ काम होता है।

Trick to Always Use

  • Step 1: क्रमवार काम करें - हर step में retained fraction और हटाया गया pure amount निकालें।
  • Step 2: वही original component कई बार निकाला गया हो तो retained fractions को गुणा करें।
  • Step 3: non-pure additions के contributions सीधे running total में जोड़ें।
  • Step 4: एक-लाइन numeric check रखें: step-by-step मानों का पालन कर के कुल और हिस्सों की संगति जाँचें।

Summary

Summary

Successive Replacement (Compound Type) pattern में:

  • हर removal को वर्तमान मात्रा पर (1 - removed/total) से गुणा मानें।
  • compound sequences के लिए operations को क्रम में लागू करें और आवश्यकता अनुसार retained fractions को गुणा करें।
  • किसी mixture को जोड़ते समय उसके pure-contribution (volume × concentration) को running total में जोड़ें।
  • कदम-दर-कदम numeric check करके total volume और component amounts की सठिकता सुनिश्चित करें।

Practice

(1/5)
1. A 100-litre vessel is full of milk. 20 litres are removed and replaced with water. Then 20 litres of the resulting mixture are removed and replaced again with pure milk. Find the amount of milk in the final mixture.
easy
A. 80 L
B. 84 L
C. 88 L
D. 90 L

Solution

  1. Step 1: After first removal and replacement

    Remove 20 L from 100 L pure milk → remaining milk = 100 - 20 = 80 L. After adding 20 L water, total = 100 L (milk = 80 L).

  2. Step 2: Second removal (20 L of the current mixture)

    Milk fraction now = 80/100 = 0.8. Milk removed = 0.8 × 20 = 16 L. Milk left = 80 - 16 = 64 L.

  3. Step 3: Add 20 L pure milk

    Milk added = 20 L → Final milk = 64 + 20 = 84 L.

  4. Final Answer:

    84 L → Option B.

  5. Quick Check:

    Sequence: 100 → 80 → remove 16 → 64 → add 20 → 84 ✅

Hint: Handle each step in order: compute retained part, subtract removed milk, then add the pure portion introduced.
Common Mistakes: Multiplying fractions without adding the newly introduced pure portion at the last step.
2. A 60-litre vessel contains 100% milk. 15 litres are removed and replaced with water. Then again 15 litres are removed and replaced with water. Find the quantity of milk left after 2 operations.
easy
A. 33.75 L
B. 40.5 L
C. 42.25 L
D. 45 L

Solution

  1. Step 1: Fraction retained each time

    Fraction retained after removing 15 L from 60 L = 1 - 15/60 = 3/4.

  2. Step 2: After two identical operations

    Retained fraction = (3/4)² = 9/16. Amount of milk left = 60 × 9/16 = 33.75 L.

  3. Final Answer:

    33.75 L → Option A.

  4. Quick Check:

    (3/4)² = 0.5625; 0.5625 × 60 = 33.75 ✅

Hint: Use (1 - removed/total)^n × total when the same fraction is removed repeatedly and replaced by water.
Common Mistakes: Subtracting the removed volume twice instead of using the power rule.
3. An 80-litre vessel contains pure milk. 20 litres are removed and replaced by a solution containing 50% milk. Find the quantity of milk in the final mixture.
easy
A. 60 L
B. 65 L
C. 70 L
D. 75 L

Solution

  1. Step 1: After removal of 20 L

    Milk removed = 20 L (pure) → milk left = 80 - 20 = 60 L.

  2. Step 2: Add 20 L of 50% milk solution

    Milk added = 0.5 × 20 = 10 L. Final milk = 60 + 10 = 70 L.

  3. Final Answer:

    70 L → Option C.

  4. Quick Check:

    Net milk change = -20 + 10 = -10 → 80 - 10 = 70 ✅

Hint: Calculate milk removed, then add the milk portion of the replacement solution (volume × concentration).
Common Mistakes: Treating the replacement volume as fully milk instead of its actual concentration.
4. A 120-litre solution contains 75% milk. 30 litres are removed and replaced with pure milk. Find the final percentage of milk in the mixture.
medium
A. 85%
B. 87.5%
C. 80%
D. 81.25%

Solution

  1. Step 1: Compute initial milk

    Milk initially = 0.75 × 120 = 90 L.

  2. Step 2: Remove 30 L of the mixture

    Milk removed = 0.75 × 30 = 22.5 L → milk left = 90 - 22.5 = 67.5 L.

  3. Step 3: Add 30 L pure milk

    Milk added = 30 L → new milk total = 67.5 + 30 = 97.5 L. Total volume = 120 L.

  4. Step 4: Compute final %

    Final percentage = (97.5 ÷ 120) × 100 = 81.25%.

  5. Final Answer:

    81.25% → Option D.

  6. Quick Check:

    Work: 90 → remove 22.5 → 67.5 → add 30 → 97.5; 97.5/120 = 0.8125 ✅

Hint: When replacing with pure component, subtract removed portion (current fraction × removed volume) then add the pure amount.
Common Mistakes: Using percentage differences instead of computing actual litres removed and added.
5. A 100-litre vessel has 40% acid. 25 litres are removed and replaced by pure acid. Then again 25 litres are removed and replaced with water. Find the final percentage of acid.
medium
A. 41.25%
B. 45.25%
C. 50.25%
D. 55.25%

Solution

  1. Step 1: Initial acid amount

    Initial acid = 0.40 × 100 = 40 L.

  2. Step 2: First removal (25 L)

    Acid removed = 0.40 × 25 = 10 L → acid left = 40 - 10 = 30 L.

  3. Step 3: Add 25 L pure acid

    Acid added = 25 L → total acid = 30 + 25 = 55 L.

  4. Step 4: Second removal (25 L)

    Concentration before removal = 55/100 = 0.55. Acid removed = 0.55 × 25 = 13.75 L → acid left = 55 - 13.75 = 41.25 L.

  5. Step 5: Add 25 L water

    Total volume = 100 L; acid = 41.25 L → final % = (41.25/100) × 100 = 41.25%.

  6. Final Answer:

    41.25% → Option A.

  7. Quick Check:

    Track litres: 40 → 30 → +25 = 55 → remove 13.75 → 41.25 → final % = 41.25% ✅

Hint: Always compute actual litres removed/added at each step; convert to percentage only at the end.
Common Mistakes: Using percentages directly without converting to absolute amounts for removal/addition steps.

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